专题3 4利用相似解决四边形问题一一几何综合(教师版)专题诠释：几何综合题是中考必考题型试题一般以全等或相似为中心，以四边形为重点，常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.解题策略：解答几何综合题应注意：注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.掌握常规的证题方法和思路；(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决计算问题另外还用结合数学思想和方法第 一 部 分 专 甄 菖 肖 韶 析类型一利用相似解决平行四边形问题1.(2 0 2 2贺州)如图，在平行四边形A B e z)中，点E,F分别在AB e上，且 即=B R 连接A R CE,AC,E F,且A C与E F相交于点O.(1)求证：四边形A F C E是平行四边形；(2)若A C平分/M E,A C=8,ta n N D 4 C=)，求四边形4 F C E的面积.4B F C思路引领：(1)根据平行四边形性质得出A O=B C AE/F C,根据等量减等量差相等，得出A E=F C,从而证明四边形A F C E是平行四边形；(2)先证明平行四边形A F C E是菱形，根据三角函数求出。
3,求出S1MEO=YOE O=6,从而求出四边形A F C E的面积.(1)证明：在平行四边形A 8 C中，AD=BC.AE/F C,：ED=BF,.AD-ED=BC-BF,.AE=F C,.四边形A F C E是平行四边形；(2)解：AE F C,：.AEAC=AACF,：.ZEAC=ZFAC9 ZACF=ZFACf：.AF=FC,Y 四边形AFCE是平行四边形，平行四边形AFCE是菱形，.O=IA C=4,A C lE Ff在 RtZAOE 中，A o=4,tanZDAC=zT,E0=3,SAEO=%OE*O=6,S 菱 彩=4SAEO=24.总结提升：本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键.2.（2022杭州）如图，在AABC中，点E,尸分别在边AB,AC,BC上，连 接 OE,E F.已知四边形DE 1BFED是平行四边形，=-.BC 4（1）若 A B=8,求线段A D 的长.（2）若aAO E的面积为1,求平行四边形BFEQ的面积.思路引领：（1）证明AAOESa A 8 C,根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AABC的面积是1 6,同 理 可 得 的 面 积=9,根据面积差可得答案.解：（1）；四边形BFED是平行四边形，J.DE/BF,.DE/BC,：.ADEABC,AD DE 1AB BC 4.A8=8,：.AD=2；(2)V ADEABC,.的%=()2=(1)2=1SB C BC 4 16：ZVlQE的面积为1,ABC的面积是16,.四边形B F E D是平行四边形，J.EF/AB,:Z F C s 工 A B C,.SAEFC _/3、2_ 9S44BC 4 16.EFC 的面积=9,平行四边形B F E D的面积=16-9-1=6.总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键.3.(2021长春)如图，在菱形4BCD中，对角线AC与 8。
相交于点AC=4,BO=8,点 E 在边4上，AE=A D,连结BE交 AC于点(1)求 AM的长.(2)ta n/MBO 的值为.AM AE思路引领：(1)由菱形的性质可得AA E M SA C B M 再 由 品=葭求解(2)由 ta n 7 3 O=求解D U解：(1)在菱形A8CO中,AD/BCf A D=B Cf.,.AAEMS ACBM,.AM AECM BCVAE=D,：.AE=扣 C,uAM AE 1 CM B C 3：.AM=CM=AC=1.（2）VA0=AC=2,BO=D=4,ACLBD,二.NBOM=90,M=OM=AO=fJlanNMBO=.故答案为：一.4总结提升：本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法.类型二利用相似解决矩形问题4.（2022玉林）如图，在矩形ABCZ）中，AB=8,A Z）=4,点E是C边上的任一点（不包括端点O,C）,过点A作AFLAE交CB的延长线于点F,设DE=a.（1）求BF的 长（用含4的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G,连接G C,当GC AE时，求证：四边形AGCE是菱形.思路引领：（1）根据矩形的性质可得NAOE=ABF,NND4E+BAE=90,结合题干AF_LAE可得ZBAF+ZBAE=90o,进而可得D 4E=/BAF,进而可得AAOEsA48凡 利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AGCE,GC AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2,AEr,再过点G作GM_LA F于点M,易得AMGFs A A E F,进而利用相似三角形的性质可得GM的长,即可得GM=GB,进而可得G尸是NAFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA=EC,即可得平行四边形AGCE是菱形.(1)解：V四边形48CO是矩形，ZADE=ZABF=NBAD=90,Z DAE+ZBAE=90,:AFlAE,：.ZBAF+ZBAE=90,.ZDAE=ZBAF,：.ADEABF,AD DE 4 a.-=-,即-=-,AB BF 8 BFJ.BF=2a9(2)证明：四边形ABCO是矩形，J.AG/CE,9 GC/AE,四边形AGCE是平行四边形.AG=CE=S-a9.BG=AB-AG=S-(8-)=小在 RtZ8GF 中，GF2=O1+(24)2=5a2,在 RtZXCEF 中，EF2=(2a+4)2+(8-)2=5a2+80,在 RlADE 中，Af2=42+2=1 +a2,如图，过点G作GMJ_A尸于点M,：.GM/AE,.M GFs zAEF,_GM GF -,AE EF.GM?_ GF2AE2 EF2.GM?_ 5。
2,16+2-52+80：.GM=Ch：.G M=B G,X VGM lAF,G B A.F C1J G F良/A F B的角平分线,EA=EC,F B C 平行四边形AGCE是菱形.解法二：VAG CE,CG/AE1 四边形A G C E是平行四边形，/.AG=CE99：AB=CD,LBG=DE=Ci,.八”GB EC 1 tan N Er C=-p=,*ECa2.=8-C l.4=3,.E=32+42=5,.,.AE=CE=5,.四边形AGCE是菱形.总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定.5.(2022泰安)如图，矩形ABC中，点 E 在 OC上，DE=BE,AC与 3相交于点O,BE与 AC相交于点 F.(1)若 BE 平分N e 8求证：BFVAC-,(2)找出图中与4 0 8尸相似的三角形，并说明理由;(3)若0尸=3,EF=2,求Z)E的长度.思路引领：(1)根据矩形的性质和角平分线的定义，求得N 3=N 6,从而求证BbJ_AC；(2)根据相似三角形的判定进行分析判断;(3)利用相似三角形的性质分析求解.Z 2=Z 3=Z 4,Z3Z5=90o,：DE=BE,Z1=Z2,又BE平分NO8C,Z1=Z6,Z3=Z6,Z6+Z5=90o,.BFLAC;（2）解：与aOB/相 似的三角形有ZEC凡ZkAAF理由如下:VZ1=Z3,/EFC=NBFO,：A E C F s AOBF,：DE=BE,.Z1=Z2,又.N 2=N 4,Z1=Z4,又：NBFA=NOFB,.M B A F s AOBF;(3)解：在矩形 A8CO 中，Z 4=Z 3=Z 2,VZ1=Z2,Z1=Z4.又 ：NoFB=NBFA,：./XOBFS ABFA.VZ1=Z3,ZOFB=ZEFC,：.AOBFSECF.EF CF OF BF,2 CF：.-=,即 3CF=2BF,3 BF3(CF+OF)=3 CF+9=2BF+9,3OC=2BF+9.3OA=2BF+9，：A B F BOF,.OF BF BF-AF,：.BF2=OFAF,.,.BF2=3(OA+3)，联立，可得8尸=V T (负值舍去)，：.DE=BE=2+y/19=3+19.总结提升：本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.6.(2022秋苏州期末)如图，矩形ABCD中，AD=3,CE=4,点 尸从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为f 秒，连接。
P 交 AC于点1)求证：X D C Q S&PkQ(2)若AAOQ是以AO为腰的等腰三角形，求运动时间/的值.思路引领：(1)由题意可知ABC,从而可知N D C Q=N 4Q,由N oQ C=N P Q A,可证AOCQS APAQ,(2)由矩形性质可得及勾股定理可知，AC=5,DP=9 ,分两种情况：当 A D=A Q 时，当AD=DQ时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得t 的值.(1)证明：Y 四边形A8C是矩形，.ABCD,：.ADCQ=APAQ,又；NOQC=NPQA,.DC(2;(2)解：；四边形ABCo是矩形，AD=3,C o=4,.AC=5,由题意知，AP=f,DP=AD2+AP2=9+t2,当 AD=AQ 时，即：AQ=3,CQ=2：DCQSXPAQ.CQAQ,BP：-AP 34=解得：t=6；当.时，即：OQ=3,PQ=D P-D Q =97-3：XDCQSXPAQ,.DQ DCPQ AP即:3 49+t2-3 -t3/整理得：-t +3=9+t2,4两边同时平方得：/92 +9 +9=9+也 整 理 得“一%7?=解得：t=y 或/=0(舍去).综上：ZXA是以AQ为腰的等腰三角形时，f=6 或t=与.总结提升：本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键.类型三利用相似解决菱形问题7.(2022长春)如图，在 RtZABC 中，NABC=90,A B,：.ACLBD,OC=90.四边形。
EC是矩形.解:V RtADO ,N A oO=60,.Z O A D=3 0o,OD=D=23,A o=6,/.AC=12,EC=23,AE=233.总结提升：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键.1 0.(2022秋白塔区月考)如图，在菱形ABCO中，DELBC交BC的延长线于点E,连结AE交BZ)于点F,交CO于点G,连结CE(1)求证：AF1=EF G F(2)若菱形48的边长为2,ZBAD=120,求FG的长.思路引领：(1)先由菱形的性质得到AB=BC,ZABF=ZCBF,然后结合BF=BF得到aABF丝4CBF,进而得到 AF=CK 由菱形得到8 4 O=B C Z X AOB E,从而得到/D 4 f=/OCT7、ND A F=NFEC,再结合N CFG=NEFC得到ACFGsZkE F C,然后利用相似三角形的性质得到CF2=E F G F,最后结合A F=C F 得至U A产=E FG F;(2)先由BAO=120得到NOCE=60,然后结合菱形边长为2得 到Cz)的长，进而利用LBC得至IJ C E、A E的长，然后通过证明/OS41FEB G D G E C,进而得到AF.A G的长，最后得到F G的长.(1)证明：Y四边形ABeo是菱形，AB=BC,N A B F=N C B F,YBF=BF,；.A A B F必 CBF(SAS),J.AF=CF.四边形48C/)是菱形，B A D=NB C D,AD/BE,；.N D A F=N F E C,。