第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)角的形成角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转至另一个位置所成的图形．(3)所有与角α终边一样的角，连同角α在，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制(1)1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.(3)角度与弧度的换算①180°＝πrad；②1°＝rad；③1 rad＝°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(*，y)，则sin α＝y，cos α＝*，tan α＝(*≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在*轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．判断以下结论的正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)第一象限角一定是锐角．(×)(2)不相等的角终边一定不一样．(×)(3)终边落在*轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)．(√)(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．(√)(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．(√)(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(√)(7)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是.(×)(8)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．(√)(9)假设sin α＞0，则α的终边在第一象限或第二象限．(×)(10)α∈，则tan α＞α＞sin α.(√)考点一 终边一样的角和象限角命题点1.写出终边一样的角2.判断角所在的象限例1](1)在－720°～0°围找出所有与45°终边一样的角为________．解析：所有与45°有一样终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－≤k≤－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°(2)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：假设θ是第三象限角，即θ∈，k∈Z∴∈，k∈Z.当k为偶数(0,2，…)时，在第二象限，当k为奇数(1,3，…)时，在第四象限，又∵＝－cos，∴cos＜0，∴为第二象限．答案：B方法引航](1)利用终边一样的角的集合可以求适合*些条件的角，方法是先写出这个角的终边一样的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.(2)利用终边一样的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成0，2π)围的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.,(3)象限角用终边一样的角的形式作为边界来表示，讨论k的取值来确定其它角所在象限.1．终边在直线y＝*上的角的集合是________．解析：(1)∵在(0，π)终边在直线y＝*上的角是，∴终边在直线y＝*上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．答案：{α|α＝＋kπ，k∈Z}2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：选A.当k＝2n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°，所以α在第一象限．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．考点二 三角函数的定义命题点1.角终边上点的坐标求三角函数值2.三角函数值求点的坐标3.三角函数值判断角所在象限例2](1)如下列图，在平面直角坐标系*Oy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标*A＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.答案：－(2)α是第二象限角，设点P(*，)是α终边上一点，且cos α＝*，求4cos－3tan α的值．解：∵r＝，∴cos α＝，从而*＝，解得*＝0或*＝±.又α是第二象限角，则*＝－，r＝2.∴sin α＝＝，tan α＝＝－.因此4cos－3tan α＝－4sin α－3tan α＝－4×－3×＝－.(3)sin α＞0，cos α＜0，则α所在的象限是()A．第一象限 B．第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限解析：因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，应选C.答案：C方法引航] 定义法求三角函数值的两种情况(1)角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.假设直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.1．角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于()A.B.C．－ D．－解析：选B.由三角函数的定义，得sin α＝＝.2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析：选A.*＝cosπ＝－，y＝sinπ＝.3．假设α是第三象限角，则以下各式中不成立的是()A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0解析：选B.在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D，应选B.考点三 扇形的弧长及面积命题点1.求扇形的弧长或面积2.求扇形的圆心角或半径例3]扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)假设α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)假设α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．解：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．(2)设弓形面积为S弓．由题知l＝cm，S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝(cm)2.方法引航](1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.(3)应用上述公式时，角度应统一用弧度制表示.1．在本例(1)中，R＝10 cm改为弧长l＝10 cm，求扇形的半径R和面积S.解：∵α＝60°＝，l＝α·R，即10＝R∴R＝cm.S＝lR＝×10×＝cm2.2．假设本例(2)改为在半径为10 cm，面积为100 cm2的扇形中，弧所对的圆心角为()A．2 B．2°C．2π D．10解析：选A.由扇形的面积公式S＝α·r2可得100＝α·102，解得α＝2.考点四 三角函数线及应用命题点1.利用三角函数线解三角方程2.利用三角函数线解三角不等式例4](1)假设α∈(0,2π)，sin α＝，则α＝________.解析：如图，α的终边与单位圆的交点的纵坐标y＝，即A，B.∴α＝∠*OA＝，或α＝∠*OB＝π.答案：或π(2)函数y＝＋的定义域是________．解析：由题意知即∴*的取值围为＋2kπ≤*≤π＋2kπ，k∈Z.答案：(k∈Z.)满足sin α≥的α的集合为________．解析：作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的围，故满足条件的角α的集合为.答案：易错警示]错用角的终边概念典例] 角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.正解]∵*＝3a，y＝4a，∴r＝＝5|a|.(1)当a＞0时，r＝5a，∴sin θ＝＝.(2)当a＜0时，r＝－5a，∴sin θ＝＝－.∴sin θ＝±.答案]±易误](1)角的终边是一条射线，而不是直线．该题中，我们只能确定角的终边所在直线．(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r＝＝＝5a，结果得到错误的答案：sin θ＝＝.警示](1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(*，y)，则sin α＝y，cos α＝*，tan α＝，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P(*，y)，|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷)角θ的顶点与原点重合，始边与*轴的正半轴重合，终边在直线y＝2*上，则cos 2θ＝()A．－ B．－C. D.解析：选B.设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝.当t＞0时，cos θ＝；当t＜0时，cos θ＝－.所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)如下列图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点．角*的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成*的函数f(*)，则y＝f(*)在0，π]上的图象大致为()解析：选B.以O为坐标原点，射线OA为*轴的正方向，建立平面直角坐标系，则P(cos *，sin *)，M(cos *,0)，故点M到直线OP的距离为f(*)＝|sin *·cos *|＝|sin 2*|，*∈0，π]，应选B.3．(2021·高考大纲全国卷)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则()A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：选C.b＝cos 55°＝sin 35°.作sin 33°，sin 35°，tan 35°的函数线，如图，a＝NQ，b＝MP，c＝AT.∴AT＞MP＞NQ，即c＞b＞a.4．(2021·高考大纲全国卷)角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()A. B.C．－ D．－解析：选D.因为角α的终边经过点(－4,3)，所以*＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－.5．(2021·高考卷)角θ的顶点为坐标原点，始边为*轴的正半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.解析：因为|OP|＝，由任意角的三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，又因为sin θ＝－＜0及点P(4，y)是角θ终边上一点，所以θ为第四象限角，故y＝－8.答案：－8课时规训练A组 根底演练1．以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°。