专题0 3 对角互补的三种模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补主要分为含90与120的两种对角互补类型该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一、含9 0 的全等型1.如图，已知NAOB=NDCE=90OC 平分NAOB.则 可 以 得 到 如 下 几 个 结 论：CD=CE,OD+OE=丫 今 O C，2.如图，已知N D CE的一边与A O 的延长线交于点D,ZAOB=ZDCE=90,O C 平 分/AOB.则可得到如下几个结论：CD=CE,O E-O D=y/2 O C,一=J例 1.如图，在 RtZABC 中，ZABC=90,AB=3,BC=4,RtAMPN,N M P N=9 0，点尸在AC上，P M 交 A B 于点E,P N 交 B C 于点F,当 PE=2P尸时，AP=.【变式训练1】如图，正方形4BCD与正方形例N P的边长均为10,点是正方形A8C的中心，正方形OMNP绕点旋转，证明：无论正方形MNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.A-1D AI I 口o2一 L【变式训练2】四边形ABCO被对角线8。
分 为 等 腰 直 角 和 直 角CB其 中 和N C都是直角，另一条对角线A C的长度为2,求四边形A8C的面积.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A(0,2),B点在立轴上，对角线AC、BD交于点M,OM=3-72,则点C的坐标为.模型二、含 6 0 与 120的全等型如图，已知/A O B=2/D C E=1 2 0O C 平分/A O B.则可得到如下几个结论：C D=C E,O D+O E=O C,+（冶=毕例.如图，在Z i A B C中，A B=A C,点D为B C的中点，点E、F分别在A B、A C上，若N A=6 0,Z E D F+Z A-1 8 O0,求证：B E +C F=A B.【变式训练】在等边4ABC中，点D是线段BC的中点，Z E D F=1 2 0,射 线DE与线段A B相交于点E,射线D F与线段A C （或AC的延长线）相交于点F.（1）如 图1,若D F L A C,直接写出D E与AB的位置关系；（2）如图2,将（1）中的/E D F绕点D顺时针旋转一定的角度，D F仍与线段A C相交于点F,求证：D E=D F；（3）在N E D F绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段B E、C F、AB之间的数量关系.模型三、相似型例.【提出问题】(1)如 图1,在等边4BC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以A M为 边 作 等 边 连 结C N.求证：B M=C N.【类比探究】(2)如图2,在等边ABC中，点M是8 c延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论BM=CN还成立吗？请说明理由.【拓展延伸】(3)如图3,在等腰ABC中，B4=BC,AB=6,AC=4,点M是8C上的任意一点(不含端点、B、C),连结A M,以A M为边作等腰AMN,使顶角N A M N=/A B C.连结CM 试探究8M与CN的数量关系，并说明理由.课后训练1.如图所示，在四边形 ABCD 中，AD=3,CD=2,/ABC=/AC8=NAOC=45。
则 80 的长2、如图，在AABC中,NABC=6(r,A8=2%三 8,以AC为腰，点 A 为顶点作等腰ACQ且 NOAC=120贝！|BD 的长为.A.E3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,B C=4,点 E 在对角线AC上，连 接 B E,作 EF_LBE,EF垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则石石=.4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F 分别为AD、CD上的点,若 AE=4,C F=3,且 OE_LOF,求 EF 的长.6.如图，在正方形ABCD中，A C 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC于 Q(1)如 图 1,当点Q 在 DC边上，猜想并写出PB与 PQ所满足的数量关系，并加以说明;(2)如图2,当点Q 落在DC延长线上时，猜想并写出PB与 PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.。