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1、向量答案1 ?已知0为AABC勺外心，其外接圆半径为 1,且而二久丽+ pBC?若 ZABC贝y兄+ “的最大值为2【答案】-3【解析】以0为原点建立平面直角坐标系，如图? B = 60ZAOC =120BA = (1 x,_y),BC =? . ?= ABA + pBCy ,30 = (X, y)2(1 x) /+ x=-x(2x =久 + 一 1-Ay + pV3 - ? 2 +-? ? B在圆上，代入=(2 + /-1)22 仏 +“-)v( 2 + / V2丿扣 + “ -|（2+ “ 艸222解得/ + /2舍去）故最大值为土，故填土 .3332.在中己知=smB = cosAsin
2、C,S显桃？ =6, P为线段4 上的ca【答案】3【解析】由sui5 = cosAsmC得b = c 2bc所以由ABAC = 9得4工=9上=3卫=4由尿嚙+倚得沪戶Pi=?2+/?2 =c2 =S = ab = 6 2大值为3.3. 如图，扇形AOB的圆心角为900,半径为1,点P是圆弧AB上的动点，作点 P关于弦AB的对称点Q,则更？页的取值范围为？【答案】IA/2-I, 1.【解析】分析：先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标,再求出5F?页的函数表达式，求其最值，即得其取值范围详解：以点0为坐标原点，以 0A所在直线作x轴，以0B所在直线作y轴，建立直
3、角坐标 系.贝U A(l, 0),B(0, 1),直线 AB 的方程为 x+y-l=0 /设 P(cosa? sina) (0 a O.y 0) 且 g+?=l,贝UCDABE的最小值等于【答案】+2&【解析】分析：通过建立直角坐标系，利用数量积运算性质，在利用不等式的性质，即可求解.详解：如图所示，则A(0, %,B&, O),C$D),故疋=4 - %忌=(冷-为，则疋？更= |,AB?AB =AC?AC = 1,所以=(AD - AC)?(AE - AB) = (E - AC)?(yAC -xyAB?AC xAB?AB - yAC?AC + ?AC 二馬 i y + 1 二 +Am-u
4、y=A(3y+4x)-x-y+ 1 = x + $ + 扌=(K +)(”+= 2 +3 + 于 + 奚 + 扌N + 2季？芟=+ 2丢,当且仅当x = 3+ & 丫 = 2y/6 + 4时取等号，所以貳用E的最小值为+ 2岳点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量枳的定义式，二是利用数，量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决 .5. 已知直角梯形 ABCD中，AD/BC,ZBAD = 90 ZADC = 45 ,AD
5、= 2, BC = b P是 腰CD上的动点，贝U |3阪+两I的最小值为【答案】v【解析】分析：以 DA为x轴，D为原点，过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系，可设 可得 3PA + BP = (4-2t, ? 2t? l), |3PA + BP| = A/(4 - 2t) 2 + ( - 2t - l) 2,利用二次 函数配方法 町得结果.以DA为x轴，D为原点，过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系由 AD/7BC,乙 BAD=90；ZADC = 45 ,AD = 2, BC = b 可得 D(0,0),C(2,0),B(2,l),C(l,l),?磴 CD 上，?- WP(t,t),
6、则 PA = (2-t-t),BP=(t-2,t ? 1), 3PA + BP = ( 4? 2J? 2 1),|3PA +BP| = J(4? 2t)?+ (? 2t? I):即|3瓯+丽的最小值为羊，故答案为羊 点睛：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的坐标表设计以及利用配方法求最值，属 于 难题.若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的最值，其关键在于正确化简为 完全平 方式，并且一定要先确定其定义域6.在平行四边形 ABCD中，43 = 2, AD = l, ZBAD = 60t E为CD的中点，若尸是线段上一动点，贝UAF FE的取值范围是 【答案L 2【解析】分析：设用加加表示出
7、题中所涉及的向量，得出乔?豆关于兄的函数，根据几的范围，结合二次函数的性质求得结呆 .详解：根据题意，设丽说（OW）,则乔帀何+丽）? （A+=（而+/1呵？（1_2）丽呵=(l-A)AB-AD + A(1-A)AD 2-aab2-aaABAD 点睛：该题是有关向量的数量积的范闱问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将 其 转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于几的函数关系，之后转化 为二 次函数在某个闭区间上的值域问题来求解 .=1 2 + 21 =* A +234,结合二次函数的性质，可7.如图，在三角形 OPQ中，卜、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且【答案
8、】乎【解析】因为点 R、M、N共线，所以由OR = OM + ON,有%+M = 1. 又因为M、N分别是边OP、OQ的中点， ISI ！ 0 j O 浙以 OR = XOM + nON=-XOP + jgOQ?x + y = A+ty=*原题转化为：当x + y=*时，求x? + y?.x? y +的最小值问题结合二次函数的性质可知，当X二扌时，取得最小值为乎故答案为汛【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论点R、M、N共线，由0R = 0M + 0N,有入+ 口 =1的应用4DC/AB.AD = DC =:CB=丄 AB = 1,8.如图，在等腰梯形 AB
9、CD中，2尸为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧旋上变动,E为圆弧旋与交【答案】【解析】以4为原点，以43为x轴，建立坐标系，DCHABAD = DC = C “*BJl?Tc工0）（2,0AED =也“乔=际2 24 4点P任以A为恻心,AD为半径的圆DE上变动，所以可设AP= (cosO.si nOfi 03-A + U = COSO? 2 4Z + Lt = si nO24?心吗，0卄#/.02A + /222 + “的取值范围为0,2,故答案为0,29. 在平面四边形 ABCD中，己知 AB = 1, BC=4, CD = 2, DA = 3,则AC? BD的值为【答案】1
10、0【解析】因为 AB+BC=DA + DC =所以将四边形放入椭圆内，人、C为左右两 三+21 = 1个焦点，不妨令椭圆方程为，b ,设（勺i）,。（心% ,则2a = 5,r*.,上门=1，两式相减得一為）=2_ 二2ACBD = 2 （?（丕一為）=2cO = 4a = 10而e点睛：本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度。10. 已知菱形ABC啲边长为2, ABAD = 120 f点E F分别在边BC,CD匕丽=几就，DF =“ DC若八+ j则
11、疋乔的最小值 【答案】16【解析】AEAF= AB+BE AD+DF)= AB+AAD AD+PDC)=( AB+AAD AD+aAB)=（1+久“）廳丽兄丽“ 22 + / =-2(1 + 2/)+4 兄 + 4 “ 代入 222，得4才-9久+ 8 当*时,【点睛】(4/i2-9A + 8).min4747,填臥向量运算。本平面向量基本定理是向量运算的根本，所以选择合适的基底，用基底去表示其它向量及 题就是选择了入耳入万做基底，把数量积转化为基底运算，转化为兄的函数。11. 在等腰梯形ABCD中，已知 AB空，AB = 3ABC = 2,乙ABC = 60 ,动点E,F分别 在线段BC和C
12、D上，且BE =2XBC, DF = （1? 3九）反，则銓？慈的取值范闱为 .【答案】1【解析】在等腰梯形 ABCD中，已知AApD, AB=2ABC = 2,乙ABC = 60，动点E,F分 别在线段BC和CD上，HBE = 2ZBC, DF =（1 -3X） DC,则瓦？孫的取值范闱为以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系，过点C作CK丄AB,垂足为K, ? ZKBC = 60? BE = 2XBC? DF = (1 - 31)DC? 0XA AF = A5 + (1 - 3?JDC =(2 -v3),yS = AB + 2kBC = (3-2k?2V3k),-DE = AD + DE = (2 - 2/a(2X ? 1) , 5g?AF=(2 - 3S ) - 2九於(2Z - 1) = 6疋一 4人+ 1二f(k),函数讹)在。，弓上递减，所似)最 大值为f(O)=1, f(X)最小值为f(|) = I即反？慈的取值范围为杠,故答案为杠12. 在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线X= 与圆C:x2 + y 2=4的内 接正三角形ABC交边AB于点P,交边AC于点,且PQHBC则B0CP的值 为._22【答案】3【解析】因为圆心。为三角形 ABC的中心，所以边
