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1、第 四 部 分 三 角 形专题1 2 角、相交线与平行线（6 大考点）核心考点核心考点一直线和线段核心考点二角与角平分线核心考点三相交线核心考点四平行线的判定核心考点五利用平行线求角度或证明核心考点六命题新题速递核心考点一直线和线段O房 题 回 究例R（2021.江苏泰州.统考中考真题）互不重合的4、B、C三点在同一直线上，已知AC=2c+l,BC=+4,A B=34,这三点的位置关系是（）A.点 A 在 3、C两点之间 B.点 8 在 A、C两点之间C.点 C在 4、8 两点之间 D.无法确定【答案】A【分析】分别对每种情况进行讨论，看”的值是否满足条件再进行判断.【详解】解：当点A 在 5
2、、C两点之间，则满足BC=AC+45,即。+4=2+1 +3。，3解得：,符合题意，故选项A 正确；4 点 8 在 A、。两点之间，则满足AC=BC+AB,i-p 2/2+l=+4+3，3解得：=-彳，不符合题意，故选项B 错误；点 C在 A、B两点之间，则满足AB=BC+4 7,即 34=+4+2zz+l,解得：“无解，不符合题意，故选项C 错误；故选项D 错误；故选：A.【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键.顾 国（2022浙江嘉兴统考中考真题）如图，在一 A Be中，NABC=90。，ZA=6 0 ,直尺的一边与BC重合,另一边分
3、别交A8,AC于点点B,C,ZZE处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽2。的长为.【答案】也3【分析】先求解AB=6,AO=且，再利用线段的和差可得答案.3【详解】解：由题意可得：D E =,D C=15-12=3,ZA=60,ZABC=90,A B=B C=A =3,tan 60o 3m o tED E 3I可理：A D =-=-7=,tan 60o 3 3 BD =AB-AD=3-,3 3故答案为：述3【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键.瓯（2022.黑龙江牡丹江.统考中考真题）如图，BC和 J3EF,点E,
4、F 在直线B e上，AB=尸，NA=ND,ZB=Z F.如图，易证：B C+B E =B F.请解答下列问题：（1）如图，如图，请猜想8C,BE,B尸之间的数量关系，并直接写出猜想结论;（2）请 选 择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若 A 8 =6,CE=2,Z F =6 0o,S 4 c=1 2 3,贝 I J B C =,BF=.【答案】（1）图：BC+BE=B F；图：B E-B C =BF（2）证明见解析（3）8,1 4 或 1 8【分析】（I）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；（2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；（3）过点A作AABC的高4G,求出
5、AG的长，再根据三角形的面积求出8C的长，进而求出B F 即可.【详解】（1）解：图：BC+BE=BF.图：B E-B C =B F.（2）解：图中在，A 8 C 和中，AB=DF：,N A =N O ,Z B =Z F：.ABCW ADFE,LBC=FE,：.BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC,即 BC+BE=BF.或图中，B E-BC =BF在,A fi C 和 /2 中，AB=DF：，N A =N O ,ZABC=ZDFE：.ABC 迫 AD F E,：.BC=FE,BE=BF+E F,BE-BC =BF+E F-B C =BF+BC-BC =BFB E-BC =B F.(3)解：
6、过点A作AG j_BC于G,/一ABC 也 A D F E,NB=NF=60。，在 Rt ABG ,AB=6,N B=60,AG=A8sin=6sin 60。=3百，又 SABC =I 2 6-BC AG=1232.8C=8,X V CE=2,：.BF=BC+BE=8+8-2=1 4,或 BF=BC+BE=8+8+2=18,故答案为：8,14或18.合图形找到线段之间的关系是解题关键.厚命题内限直线由无数个点构成，点动成线。直线是面的组成成分，并继而组成体。没有端点，向两端无限延伸，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴为所有与它垂直的直线（有无数条）。在平面上过不重合的两点
7、有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。构成几何图形的最基本元素。在D 希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中，点、直线、平面属于基本概念，由他们之间的关联关系和五组公理来界定。线 段 指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）口,有别于直线、射线【变 式 1（2022.云南楚雄.云南省楚雄第一中学校考模拟预测）在下列说法中，正确的有（）两点确定一条直线；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；垂直于同一条直线的两条直线垂直；平行于同一条直线的两条直线平行；过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【分析】
8、根据直线的性质，平行线公理，垂线的性质，以及平行线的性质对各小题分析判断即可得解.【详解】解：两点确定一条直线，正确；应为过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行，故本小题错误；应为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确；应为在同一个平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故本小题错误；综上所述，说法正确的有共2 个.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，直线的性质，平行公理以及垂线的性质，熟记性质与概念是解题的关键.【变 式 2】（2022.江苏常州校考二模）如图，矩形ABC。中B=3,AD=4,点 E 在边A 上，AE：E
9、 D =I :3,动点P 从点A 出发，沿 AB运动到B 停止，过点E 作 E尸垂直PE交射线8C 于点凡 如果用是线段所的中点，那么P 在运动的过程中，点 M 运动的路线长为（）C.4D.4.5【答案】D【分析】如图，当尸与A重合时，点 F 与 K 重合，此时点M 在”处，当点尸与8 重合时，点 F 与 G 重合,点 M 在 N 处，点 M 的运动轨迹是线段H N.求出 N 的长即可解决问题.【详解】解：如图，连接砂，过点E 作 EK j_ AE交BC于点K，过点E作E G L B E交BC于点G,点H,N分别为EK,EG 中点，并连接H N,则当P 与 4 重合时，点 F 与 K重合，此时
10、点M 在，处，当点P与B重合时，点 F 与 G 重合，点 M 在 N 处，点 M 的运动轨迹是线段.AE：ED=1:3,AD=4,.AE=bAB=3,.tan ZABE=-,3B E lE G,.NEBG+NG=90,ZABE+NEBG=90。,ZG=ZABEf tanNG=L3EK=AB=3f.“EK 3.K（J=-=9tan ZG ，3，点 H,N 分别为K,EG 中点，HN=L KG=4.5,2故选：D.【点睛】本题考查轨迹、矩形的性质、三角函数的应用、中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹.【变式3（2021.广西柳州统考一模）建筑
11、工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，用 到 的 数 学 知 识 是.【答案】两点确定一条直线【分析】根据两点确定一条直线，即可求解.【详解】解：根据题意得：用到的数学知识是两点确定一条宜线.故答案为：两点确定一条直线【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键.【变式4 (2021.甘肃.模拟预测)定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段P Q,当线段AB的中点在线段尸。上时(包含点P、Q),就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称.则点3表示的数X的取值范围是一.a P
12、。i-1-k-1-1-10 12 3 4【答案】lx 的大小关系，并说明理由.【答案】（1）见解析（2）相等，见解析【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得NADE=NA 0，则AD=AE,从而有CD=B E,由（1）得，ZEBD=NEDB,可 知BE=DE,等量代换即可.【详解】（1）证明：Y B。是ABC的角平分线，ZCBD=ZEBD.：DE/BC,：.NCBD=NEDB,：.NEBD=ZEDB.（2）CD=E D.理由如下：/AB=AC,：.AC=ZABC.DE/BC,：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,.ZADE=ZAED A。的垂直平分线
13、交AC于点F,F A=F D,：J）E F 的垂直=DE+E F+FD =DE+E F+FA=DE+AE =10+103,故答案为：o+o L【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.【变式4】（2022 四川眉山 模拟预测）如图，AB=8,A C =I,P B、PC 分别平分/3、/C,DE/B C ,则VAOE的周长是.A【答案】15【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明血）尸和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质 彳 导 BD=PD,CE=EP,则 VADE 的周长=AB+AC=15【详解
14、】解：PB平分/A B C,PC平分/A C 8，.D B P =NPBC,AECP=APCB,DE HBC,ZDPB=NPBC,ZEPC=ZPCB,:.NDBP=ZDPB，NECP=NEPC,.-.BD=PD,CE=Ep（等角对等边），.VATE的周长=A+OP+PE+A=AD+8 0+CE+A=+AC=8+7=15.故答案为：15.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.【变式5（2022浙江绍兴一模）（1）问题背景如图，R/44BC中，ZBAC=90,AB=AC,NABC的平分线交直线AC于 力，过点
15、C作 CE_LB。，交直线BD于E,CE交直线BA于 M.探究线段BO与 CE的 数 量 关 系 得 到 的 结 论 是.（2）类比探索在（1）中，如果把8。改为AABC的外角NAB尸的平分线，其他条件均 不 变（如图），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.（3）拓展延伸在（2）中，如果AB=A C,其他条件均不变（如图），请直接写出8。与 CE的 数 量 关 系 为.DD图图【答 案】(1)问题背景：B D=2 CE(2)类比探索：结 论8 O=2 C E仍然成立，证 明 见 解 析(3)拓展延伸:B D=CE【分 析】(I )根据角平分线及全等二:角形的判
16、定和性质得出4 8 ME=4 8 C E(AS A),CE=ME,结合图形得 出NAD B=NM,sinZ D B=sinZM,再由正弦函数证明即可;(2)根据题意，证 明 方 法 同(1)类 似，证明即可;A R r 根 据 得而=说将线段间的数量关系代入即可得出结果【详 解】(1)解：.;BE是N 4 3 C的平分线,.*.ZABD=ZCBD,在4 3 和4 B CE,ZAB D=ZCB DB E =B ENB E M=ZB E C：/BM EjBC E(AS A),LCE=ME,；CE LB D,NBAC=9 0。,ZABD+ZM=90o,ZADB+ZAB D=Woi：.ZADB=ZM.S inNA )8=S inN M,即空*B D C MV AB=AC,：,B D=CM,：.B D=2 CE；(2)结 论8 Z 2 C E仍然成立.证明：.3。是NABb的平分线,Z1=Z2,VZ1=Z3,Z2=Z4,Z3=Z4,在4。8石和4 MBE中,Z =/4 CE=MEBD CM.AB=-A C92：.BD=-CM,2：,BD=CE.故答案为：BD=CE.【点睛】题目主要考查全等三角形
