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1、大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一.数列函数:1.类型:数列：* anf(n) ; *an 1f(an)f(x) x xo.*,;a x x0(2)初等函数: 分段函数：* F(x)fl(X),x x0 ； * F(x)f2(x) x Xo(4)复合(含 f)函数：y f(u),u (x)隐式(方程)：F(x, y) o(6) 参式(数一，二)：x x(t)y y(t)x(7)变限积分函数：F(x) f(x,t)dta(8)级数和函数(数一，三)：S(x)anxn,xn 02 .特征(几何)：(1)单调性与有界性(判别)；(f(x)单调xo,(x xo)(f(x) f(xo)定号
2、)(2)奇偶性与周期性(应用).3 .反函数与直接函数：y f (x) x f 1(y) y f 1(x)二.极限性质：1 .类型：* liman； * lim f(x)(含 x )； * lim f(x)(含 x x ) nxx x)2 .无穷小与无穷大(注：无穷量)：3 .未定型：0, , 1 , 0 , 00, 004.性质：*有界性，*保号性，*归并性三.常用结论:1nn 1 ,1n - a (a0)1,n(abn1cn尸max(a, b,c),四.1.2.1(x 0) xlim xlnn xx 0必备公式:0,等价无穷小：sin u(x) : u(x);u(x)e 1 : u(x);
3、当 u(x)arcsin u(x) : u(x);泰勒公式:ex 1 x(2)ln(1x)sin xcosx12x 2!1 x -x21 3 -x 3!1 2 一 x 2!(1 x)五.常规方法:前提：（1）准确判断(如：1 t)x1.抓大弃小（一）,lim xxx 00时,o(x2)；2 o(x2);/ 4o(x );1,tan u(x):n.x lim x x eu(x)；ln(1 u(x) : u(x);arctanu(x): u(x)145x o(x ); 4!(1) 2x2!0-1 , , ,00,limxlnn x0,(1o(x2).M （其它如：,0,00,1 2 , cosu(
4、x) : - u (x);u(x)1 : u(x);0）; （2）变量代换2.无穷小与有界量乘积（M ）（注：sin - 1,x x3 . 1处理(其它如:00, 0)4 .左右极限(包括x ):1、，(1) -(x 0) ; (2)ex(x) ； ex(x 0) ; (3)分段函数：x , x,xmax f (x)5 .无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注：非零因子)6 .洛必达法则(1)先“处理，后法则(0最后方法)；(注意对比：limx”与|防如) 0x 1 1 x x 0 1 x11111(2)募指型处理：u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如：ex-7 exeke= x 1)(3
5、)含变限积分；(4)不能用与不便用7 .泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8 .极限函数：f(x) lim F(x,n)( 分段函数) n六.非常手段1 .收敛准则：anf(n) lim f (x)x(2)双边夹：* bnan Cn?, *4 a?(3) 单边挤：an 1 f (an)*a2 4? *an M ? * f (x) 0?2.导数定义(洛必达?)：3.4.11积分和：lim f () n n n中值定理：lim f (xx.VflimVx 0 Vxf(-) Lna) f(x)f(%)f(-)na limx10 f (x)dx,f()5.级数和(数一三):(1)an收敛n 1
6、niman 0,(如 nimT)(2)lim( a1 a2 L nan)an ,n 1(3)门口与(an an 1)同敛散n 1七.常见应用：1 .无穷小比较(等价，阶)：* f(x) : kxn,(x0)?(1) f (0)f(0) L f(n1)(0) 0, f (n)(0) a f (x) xn(xn) : xnn!n!xx(2) 0 f (t)dt： 0 ktndt2.渐近线(含斜)：(1) a lim f-(x) ,b lim f(x) ax f (x): ax b x x x，1(2) f(x) ax b ,( -0)x3.连续性：(1)间断点判别(个数)；(2)分段函数连续性(附
7、：极限函数f (x)连续性)八.a,b上连续函数性质1 .连通性：f(a,b) m,M(注：01 , “平均值：f (a) (1 )f (b)f(x。)2 .介值定理：(附：达布定理)(1) 零点存在定理：f(a)f(b) 0 f(x。)0(根的个数)；x(2) f(x) 0( f(x)dx) 0.a第二讲：导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念：1 .差商与导数：f(x) limVx 0f(x Vx) f(x).;Vxf(x0) lim f(x) f(x0)x x。x x0f (x) f (0) / 升f (0) lim J (注:x 0 xlimf-() A(f 连续)f(0) 0,
8、 f(0) A)x 0 x(2)左右导：f(x0), f(x0);可导与连续；(在x 0处,x连续不可导;x x可导)2. 微分与导数： Vf f(x Vx) f(x) f(x)Vx o(Vx) df f(x)dx(1)可微 可导；(2) 比较f ,df与0的大小比较(图示)；二.求导准备：1 .基本初等函数求导公式；(注：(f(x)2 .法则：(1)四则运算；(2)复合法则；(3)反函数dx - dy y三.各类求导(方法步骤)：1. 定义导：(1) f(a)与f(x)；(2)分段函数左右导x af (x h) f (x h)(3) lim -h 0 h(注：f(x) F(x), x x0,
9、求：f (%), f (x)及 f(x)的连续性)a x %2.初等导(公式加法则)：(1) u fg(x),求：u(%)(图形题)；xxbb、(2) F(x) f(t)dt,求：F(x)(汪：(f(x,t)dt), ( f(x,t)dt), ( f(t)dt) aaaa yf1(x), x x0,求 f(%), f(x。)及 f(x。)(待定系数)f2 (x) x x3.隐式(f(x, y) 0)导：dy, -d4 dx dx(1)存在定理；(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3) 对数求导法.4 .参式导(数一，二):x x(t),求：或暝 y y dx dx5 .高阶导f(n)(x)
10、公式：(n)n ax .a e ;a bx)(n)bnn! ;(a bx)n 1 (sinax)(n)an sin(ax n);(cosax)(n, an cos(ax n)注：f(n)(0)与泰勒展式：f(x)a0 a1x a2X2 Lanxn Lan 四 .各类应用：1 .斜率与切线(法线)；( 区别：y f(x)上点Mo和过点Mo的切线)2 .物理：(相对)变化率速度；(；1f2(x)3 .曲率(数一二)：JUxL (曲率半径,曲率中心，曲率圆)23 4 .边际与弹性(数三)：(附：需求，收益，成本，利润)五 .单调性与极值(必求导)1 .判别(驻点f(x0) 0)：(1) f(x) 0
11、 f(x)Z ; f(x) 0f(x);(2)分段函数的单调性(3) f (x) 0零点唯一 ；f(x) 0驻点唯一(必为极值，最值).2 .极值点：(1) 表格(f(x)变号)；(由 limf 0, lim 0, lim 坐) 0 x 0 的特(2)二阶导(f(x) 0)注(1) f与f, f ”的匹配(f 图形中包含的信息);(2) 实例：由f(x)(x)f(x) g(x)确定点“ x x。”的特点.(3) 闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)3 .不等式证明(f(x) 0)x a,b与*单变量与双变量x a,), x (,)(2) 类型：* f 0, f(a) 0;* f
12、 0, f(b) 0f 0, f(a), f(b) 0；*f(x) 0, f(x0) 0, f(x0) 0(3)注意：单调性端点值极值凹凸性.(如：f (x) Mfmax ( x)M )4.函数的零点个数：单调介值六.凹凸与拐点(必求导!)：1 . y”表格；(f(x0) 0)2 .应用：(1)泰勒估计；(2)f单调；(3) 凹凸.七.罗尔定理与辅助函数：(注：最值点必为驻点)1 .结论：F(b) F(a) F( ) f( ) 02 .辅助函数构造实例： x(1) f( ) F(x) f(t)dt a(2) f()g()f()g()0 F(x) f(x)g(x)(3) f()g()f()g()
13、0 F(x)坐g(x)(4) f()()f() 0F(x) e (x)dxf(x)；3 . f()0 f(x)有n 1个零点 f(n 1)(x)有2个零点4 .特例：证明f(n)( ) a的常规方法：令F(x) f(x) Pn(x)有n 1个零点(%(x)待定)5 .注：含1, 2时，分家!(柯西定理)6 .附(达布定理)：f(x)在a,b可导，c f (a), f (b),a,b,使：f() c八.拉格朗日中值定理()0)1 . 结论：f(b) f(a) f( )(b a) ； (a)(b)2 .估计：Vf f( )Vx九.泰勒公式(连接f,f, f之间的桥梁)12131 .结论：f(x)f(Xo) f(Xo)(X Xo) -f (Xo)(X Xo)2 -f( )(X Xo)3；2!3!2 .应用：在已知f (a)或f(b)值时进行积分估计十.积分
