专题1 1几何模型（1）一三角形中的旋转模型【问题引入】当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：I、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析【题型一：常见旋转模型之邻补模型】条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角ZDAB+ZDCB=180o,AD=AB常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等90ZBCD相关结论:1、A C平分2、B C+CD=2AC60 相关结平分NBCD论：1、ACD2、B C+CD=AC 120CDABE V二AB相关结论：1、AC平分NBCD2、Be+CD=VSAC补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断【例】如图，在 Rt和 RtZ 8切 中，NBAC=BDC=9Q，BC=8,AB=AC,NCBD=30,9=43.M,N分 物 在 BD,CDh,ZM V=45,则肠V的周长为【解析】将羔V绕点/逆时针旋转，得到如图:VZ 4C=Zi9=90o,AABE=AACD,AEAB=ACAN,Zl9=30o,50=43,CD=BDX tanZ CBD=4,：.用价 的周长为D冰D 2 MN=Dm DNtrB必CN=BHDc=454,故答案为：4-f3+4.【练1】如图，在平面直角坐标系xy中，A,B两点分别在X轴，y轴的正半轴上，且OA=OB,点C在第一象限，0 C=3,连接BC,A C,若BCA=90,则BC+AC的值为.【答案】3/【解析】将(；绕0点旋转90,.OB=OA点B落在A处，点C落在D处且有 OD=OC=3,ZC0D=90o,ZOAD=ZOBC,在四边形OACB中,/ZB0A=ZBCA=90o,Z0BC+Z0AC=180o,Z0AD+Z0AC=180oC A、D三点在同一条直线上，.aOCD为等要宜角三角形，根据勾股定理CD2=0C2+0D2即 C D2=32+32=1 8解得C D=3 2即 B C+A C=3 2.【练 2】如图，P是等边三角形A B C 内一点，将线段B P 绕点B逆时针旋转6 0 得到线段B Q,连接A Q.若 P A=4,P B=5,P C=3,则四边形A P B Q 的面积为.【答案】述+64【解析】解：如图，连接P Q,由旋转的性质可得，B P=B Q,又 N P B Q=6 0。
/.B P Q 是等边三角形，P Q=B P,在等边三角形A B C 中，Z C B A=6 0o,A B=B C,.*.Z A B Q=6 0o-Z A B PN C B P=6 0 -Z A B P ZABQ=ZCBP在a A B Q 与a C B P 中(B Q=B Pj /A B Q =/C B PI A B =C BB Q C B P (S A S),A Q=P C,又：P A=4,P B=5,P C=3,.P Q=B P=5,P C=A Q=3,在Z k A P Q 中,A Q2=9,A P2=16,P Q2=2 5,2 5=1 6+9,由勾股定理的逆定理可知A A P Q 是直角三角形,S 四边形APBQ=SABPQ+S APQ=52+3 4 =+6,故答案为：型+64【练3】如图，在AABC中，Z A C B=120o,BC 4 C,点E在BC上，点D在AB上，C E=C Af连接DE,Z ACB+Z ADE =180o,C H L ABf 垂足为.证明：DE+D=23CH.【答案】见解析【解析】证明：如图,延长BA到点F,使 AF=DE,连接CF、CD,.,ZACB+ZADE=180o ZCAD+ZCED=360o-180=180 ZCAD+ZCAF=180oZCAF=ZCEDVAC=EC,AF=EDAFCEDC CF=CD,ZACF=ZECD ZFCD=ZACF+ZACD=ZECD+ZACD=ZACB=120VCF=CD,CHDF/.FH=DHW DF=(DE+AD),ZHCD=iZFCD=600 tanZHCD=3CH.I)H=3CH/.I)E+AD=2I)H=23CH【题型二：旋转与三角形全等的构造】【例】问题背景：如图设尸是等边儿?C 内一点，4=6,PB=S,/T=1 0,求/明的度数.小君研究这个问题的思路是：将/(T绕点/逆时针旋转6 0 得到/(邮，易证:/勿是等边三角形，物 是直角三角形，所以/阳=N/1 m+N 刷 =1 5 0 .简单应用：（1）如 图 2,在 等 腰 直 角 中，N=9 0.P 为A A B C 内一点,且 必=5,PB=3,P C=2 C D2+C E2=9T9=32；ZDC=45Q：.N A D E=NA D N/E D C=90在 Rt中，N A D E=90：.EA=yA D2+D E2=18+4=22：.B D=22【练31如 图1,已知：已知：等边A A B C,热是边SC上一点(点不与点反点,重合)，求证：B D DO A D.下面的证法供你参考：把 切 绕 点 力 顺 时 针 旋 转60得到44%连接ED,则有4 g/阳D C=EB,：A D=A E,ZD A E=QOo,./应 是等边三角形，JAgDE.在/XD B E 中,B DtrEB D E,即：B DIr D o A D实践探索：(1)请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3,点是等腰直角三角形a 比边上的点(点不与B、C重合).求证:B C h-D OypZA D.(2)如果点运动到等腰直角三角形448C外或内时，B D,%和加之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.创新应用：(3)已知：如图4,等腰447中，A B=A C,且N物C=(为钝角)，是等腰4/8C外 一 点,且/骏/为=18 0,被、小与朋之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想,并证明.D图1 图2 图3 图4【答案】(1)证明见解析(2)B I D C 2 Z (3)猜想：小C V 2/1。
证明见解析【解析】解：(1)证明：把/切绕点/顺时针旋转90得到儿阳 连接必则有 4 1G 92 Z X 4 S f,D C=EBYA D=A E,Z D A E=Wo.班是等腰直角三角形.,.D E=yA l)在 颂 中，B M EB D E,即：B KD C Zi A D;(2)把倒)旋转,使 四 与/C重合，然后绕/C旋转，得到4 i?,则 劭=力，在丛C D D 中，C D C D D D ,即 B M C D D D ,VW是钝角三角形，则 加 y2A D当运动到8的位置时，D D =B G=近 A D.：.B A D C 五 A D；(3)猜想 1：B I R D C ED,即 觎 加V 2 4【题型三：旋转与相似三角形的构造】【例】如图，在矩形力质中，是4 9边的中点，BE U C于点F,连接始给出下列四个结论：4 A E F s X C A B;C F=2A F D F=D C；S“胪:S 四 边 形 *=2:5,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】解：如图，过 D 作 D M B E交 A C 于 N,A _ B J：四边形被力是矩形，J A D M B 3 NW=90 ,A D=B C,:反LI。
于点F,：./E A C=/A C B,N A B a NAF E=9 G ,：Z E F S X CAB,故正确；A D/B a：X A E F s X C B F、噌=芸，B C C F,:AE=AD=BC,.=p ：.C F=2A F,故正确，：D E/B M,B E/D M,.四边形阳侬是平行四边形，B心 D E=LB a ：.C M,2：.C N=N F1：B EI A C 于点 F,D M B E,I D N l C F,：.D F=D C,故正确；：XA EFSl C B F、.EF AE 1-，BF BC 2*SJ7=-S1Z,SUZi!F=:S 矩 形 I/O，/O*SJ7=-S 矩 形 A B C D，又 f S 四 边 形 0%v=SS即=3S 矩 形 HZg-S 矩 形 Mo=五S 矩 形 Mo,SZU即：S 四 边 形 C 网=2：5,故正确；【练 1】如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，九/ECB=_ e【答案W【解析】解:连 接 BD,BF,F D,如图,：也=阻=0,BC BE.BD _ BC BF-BE.NFBD+/DBE=45,ZEBC+ZDBE=45o,ZFBD=ZEBC,EBCFBD,ZFDB=ZECB,J=2,CE BC.DE=2CE=32,由题意知：FMs DF,DM三条线段满足FM+DF2MD,其中DM、DF的值一定,当 M,F,D三点一线时，FM最小，过点M作 MNLBD,垂足为G,ZMBN=450,BM=AB=4,.*.MN=BN=22,：m=jAM2+AD2=42+82=45.ADG=VMD2-M G2=J(45)2-(22)2=2./4/MG 22-l.tan/e c b=tan/FDG=诟=故答案为：【练 2】如图，在a 6 C 中，A B=5,为边加上一动点，以 为 一 边 作 正 方 形 C W,当点从点6 运动到点力时，点 E 运 动 的 路 径 长 为.【答案】52【解析】解：如图，作 GBLBC于 B,取 GB=Ba当点D与点B重合时，则点E 与点G 重合,.*.ZCBG=90o,C G=2 B C,Z G C B=4 5O,四边形CDEF是正方形，.CE=2DC,Z E C D=4 5O,ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=45,.B C D=N G C E,且 也=企，BC DCCGECBD,.a =3 =L 即 GE=&BD,BD DCVBD=5,.点 V 运动的路径长为GE=2BD=52.【练 3】在 4Bc和A4DE中，B A =B C,D A =D E,且N4BC=NAOE=,点 E在 ABC的内部，连 接 阳 EB,EA 和 即,并且4 C E +-!B E =9。
图 备用图（观察猜想）（1）如图，当a=60时，线 段 协 与 四 的 数 量 关 系 为,线段4,E B,比的数量关系为（探究证明）（2）如图，当 =9 0时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当 点 在 线 段 切 上 时，若BC=2烟,请直接写出A B D E的面积.【答案】（I）B C =C E,EB2+EC2=EA2（2）不成立，理由见解析；（3）2【解析】（1）如图中，图,SA=C,DA=DE.且游6 0 ,ABC,/!都是等边三角形，：.AD=AF,AB-AC,ZDAE=ZBAC=Q,：.NDA斤/EAC,：*M A C (SAS),：.BD-EC,ZABD=ZACE,V ACE+ZABE=,：./AB以/A B拄9Q,：.4 DBE=90,J.D=Cr+BEt,EA=DE,B庐EC,：.E六=BR+EG.故答案为：BD-EC,E4=EE+EG.(2)结论：E h E e+2BlL理由：如图中，图：B归BC,DA=DE,且N49C=N/般90,:丛ABC,力座都是等腰直角三角形，:N DA斤NBAUA50,，乙 DAB-4 EAC,.AD_A AB-2AE 2 AC 2.AD AB =，AE AC：Z A B s lE A 377=7 7-NAC拄 NABD,EC AC 2V ZA。