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1、二次函数(时间：100分钟满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分)1抛物线y2x21的对称轴是( C )A直线x B直线x Cy轴 D直线x22将二次函数yx22x3化为y(xh)2k的形式，结果为( D )Ay(x1)24 By(x1)22Cy(x1)24 Dy(x1)223(2023河南)二次函数yax2bx的图象如图所示，则一次函数yxb的图象一定不经过( D )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4(2023大连)已知抛物线yx22x1，则当0x3时，函数的最大值为( D )A2 B1 C0 D25将抛物线y(x1)22向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
2、所得到的抛物线的表达式为( B )Ayx28x22 Byx24x2Cyx24x10 Dyx28x146如图，二次函数ya(x2)2k的图象与x轴交于A，B(1，0)两点，则下列说法正确的是( D )Aa0 B点A的坐标为(4，0)C当x0时，y随x的增大而减小 D图象的对称轴为直线x27如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为yx2，当水位线在AB位置时，水面宽12 m，这时水面离桥顶的高度为( C )A3 m B2 m C9 m D4 m8二次函数yax2bx1的图象与一次函数y2axb在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )9已知直线ykx2经过第一、二、三象限，则直线ykx2与抛物
3、线yx22x3的交点个数为( C )A0个 B1个 C2个 D1个或2个10(2023营口)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.下列说法：abc0；抛物线的对称轴为直线x1；当3x0；当x1时，y随x的增大而增大；am2bmab(m为任意实数)，其中正确的个数是( C )A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题(每小题3分，共15分)11二次函数y3x22的最大值为_2_12在函数y(x1)2中，当x1时，y随x的增大而_增大_(填“增大”或“减小”)13(2023滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的
4、水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水距离也为3 m，那么水管的设计高度应为_m_.14如图，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A，B(m2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是_(2，0)_15(2023武汉)抛物线yax2bxc(a，b，c是常数，c0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n3.下列四个结论：b0；4acb24a；当n3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t1；若关于x的一元二次方程ax2bxcx有两个相等的实数根，则0m.其中正确的是_(填写序号).三、解答题(共7
5、5分)16(8分)已知二次函数yax26xc中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x101234y1052125(1)求该二次函数的表达式；(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？解：(1)y(x2)21(2)当x2时，y有最小值117(9分)如图，已知经过原点的抛物线y2x2mx与x轴交于另一点A(2，0).(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；(2)求直线AM的表达式解：(1)抛物线y2x2mx与x轴交于点A(2，0)，2222m0，m4，y2x24x2(x1)22，顶点M的坐标为(1，2)(2)设直线AM的表达式为ykxb(k0)，图象过A(2，0)，M(1，2)，解得直线AM的
6、表达式为y2x418(9分)已知二次函数y2(x1)(xm3)(m为常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？解：(1)当y0时，2(x1)(xm3)0，解得x11，x2m3.当m31，即m2时，方程有两个相等的实数根；当m31，即m2时，方程有两个不相等的实数根不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点(2)当x0时，y2(x1)(xm3)2m6，该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m6.当2m60，即m3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方19(9分)(2023兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身
7、体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x1，设y关于x的函数表达式为yax2bxc，解得y关于x的函数表达式为yx22x10(2)在yx22x10中，令y0得0x22x10，解得x1或x1(舍去)，运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1)米20(
8、9分)(2023菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药学校已定购篱笆120米(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(1203x)米，根据题意得：Sx(1203x)3x2120x3(x20)21200，30，当x2
9、0时，S取最大值1200，1203x12032060，垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米时，花园面积最大为1200平方米(2)设购买牡丹m株，则购买芍药12002m(2400m)株，学校计划购买费用不超过5万元，25m15(2400m)50000，解得m1400，最多可以购买1400株牡丹21(10分)(2023随州)为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1x30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p销量q(千克)与x的函数关系式为qx10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的
10、销售额为W元(1)m_2_，n_60_；(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？解：(1)把(5，50)，(10，40)代入pmxn得解得故答案为：2，60(2)当1x1000得x23，x整数，x可取24，25，26，27，28，29，30，销售额超过1000元的共有7天22(10分)(2023陕西)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m3，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，
11、抛物线型拱门的跨度ON12 m，拱高PE4 m其中，点N在x轴上，PEON，OEEN.方案二，抛物线型拱门的跨度ON8 m，拱高PE6 m其中，点N在x轴上，PEON，OEEN.要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABCD的面积记为S2，点A、D在抛物线上，边BC在ON上现知，小华已正确求出方案二中，当AB3 m时，S212 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB3 m时，求矩形框架ABCD的
12、面积S1，并比较S1，S2的大小解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6，4)，设抛物线的函数表达式为ya(x6)24，把O(0，0)代入得：0a(06)24，解得a，y(x6)24(2)令y3，则(x6)243，解得x3或x9，BC936(m)，S1ABBC3618(m2).1812，S1S223(11分)如图，抛物线yx2bxc与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x2，顶点为D，点B的坐标为(3，0).(1)填空：点A的坐标为_(1，0)_，点D的坐标为_(2，1)_，抛物线的表达式为_yx24x3_；(2)当二次函数yx2bxc的自变量x满足mxm2时，函数y的最
13、小值为，求m的值；(3)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)对称轴为直线x2，点B(3，0)是抛物线与x轴的交点，A(1，0)，将点A，C坐标代入，可得yx24x3(x2)21，D(2，1)，故答案为：(1，0)，(2，1)，yx24x3(2)当m22时，即m0，此时当xm2时，y有最小值，则(m2)24(m2)3，解得m，m；当m2时，此时当xm时，y有最小值，则m24m3，解得m或m，m；当0m2时，此时当x2时，y有最小值为1，与题意不符；综上所述：m的值为或(3)A(1，0)，C(0，3)，AC，AC的中点为E(，)，设P(2，t)，PAC是以AC为
