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1、第5讲二项分布及其应用【2013年高考会这样考】1. 考查条件概率和两个事件相互独立的概念.2. 考查n次独立重复试验的模型及二项分布.3. 能解决一些简单的实际问题.【复习指导】复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即 把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个 相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的 计算方法.01KAOJIZIZHUDAOXUE 考基自主导学必考必记教学相长基础梳理1. 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(BI
2、A)来表示,其公式为p(B|A) = ?篇-n(AB)n(A)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(BIA) =(2)条件概率具有的性质： 0WP(BL4)W1； 如果B和C是两互斥事件，则P(BU CIA)=P(BIA)+P(CIA).2. 相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.若A与B相互独立，则P(BA) =P(B)，P(AB)=P( BL4)P(A)=P (A)P( B).若A与B相互独立，则A与B，T与B，A与B也都相互独立.若P(AB)=P(A)P(B)，则A与B相互独立.3. 独立重复试验与二项分布(1)
3、 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次 试验中发生的概率都是一样的.(2) 二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的 概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k) = Cpk(1_pn桂(k = 0,1,2,，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X B(n，p)，并称p为成功概率.助修微惮一种关系可先定义条件概率P(BIA)=豊警,当P(BA) = P(B)即即P(AB)_ = P(A)P(B)时，事件B与
4、事件A独立.但是要注意事件A、B、C两两独立，但事件A、B、C不一定相互独立.两种算法计算条件概率有两种方法.(1) 利用定义.PIB!A).pPAy ；(2) 若_n(C)表示试验中事件一 C包含的基本事件的个数，则n(AB)P(BIA)=.n(A)双基自测1. (2011广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获 冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(A.3)2B-3C-51D-2解析问题等价为两类:第一类，第一局甲赢，其概率p1 =2；第二类，需比赛2局,第一局甲负，第二局甲赢，其概率p2 = 2 x 2 = 4.故甲队获得
5、冠军的概率为P1+P2 =4.答案A2. 小王通过英语听力测试的概率是1,他连续测试3次，那么其中恰有1次获得 通过的概率是().4 - 9A.4一272 一27D解析所求概率p = ci)(1 -1) -1 =9.答案A3. (2011湖北高考)如图，用K、A. A2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A2正 常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为().EA. 0.960 B. 0.864C. 0.720D. 0.576解析 P = 0.9 X 1 - (1 - 0.8)2 = 0.864.答案B4.如果Xb
6、15, fl，则使P(X=k)取最大值的k值为().A. 3B. 4C. 5D. 3 或 4解析采取特殊值法.p(x =3 - 4531CP(X = 4) = Cl54(4jii, P(X = 5) =11110,从而易知 P(X = 1) = P(X = 4)P(X = 5).答案D5.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A, “第二次出现正 面”为事件B则P(BA)等于().1 1 1 1A-2B-4C.6D.81P(AB)41解析 法一 p(BA = p(A)=1 = 2，2法二A包括的基本事件为正，正, 正，反 ,AB包括的基本事件为正，正, 因此 P(BA) = 1.答案
7、A02KAOXHANGTANJIUDAOXI 考向探究导析考向一条件概率【例1】(2011辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数 之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(BA)等于().1 1 2 1 A/BNc-5D.2审题视点利用条件概率的计算公式P(BIA)=驴身计算P(A)刀牛P41023C2C25, P（AnB）= c211o.由条件概率计算公式，得P(BIA) =p（a n B）P（A） - 4 _ 4.答案B方法总结利用定义，分别求P(A)和P(AB),得P(BIA) = p(AB).这是通用的求条P(A)件概率的方法.(2)借助古典概
8、型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与 事件B的交事件中包含的基本事件数，即n(AB)，得P(BA)=理%.n(A)【训练1】(2011湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接 正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)=; (2)P(BA)=.n解析 圆的面积是n,正方形的面积是2,扇形的面积是4根据几何概型的概率12计算公式得P(A) = 2,根据条件概率的公式得P(BIA )= 磐=2 4nP(A) 2 4n2 答案2n【例2】14考向二独立事件的概
9、率(2011全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为03设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.审题视点准确把握“至少”与“恰”等字眼的意义，从而借助于独立事件的 的概率知识求解.解(1)设“购买甲种保险”事件为A, “购买乙种保险”事件为B由已知条件 P(A) = 0.5, P(BA) = 0.3,0.3P(B)P(A) = 0.3, P(B)=丽=06，因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1P(才 B) =
10、 1- P(A)P( B)=1 (10.5)(10.6)=0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P=P( A B ) = 0.2,因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C1X0.2 X 0.82 = 0.384.方法总结相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问 题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先 要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.【训练2】(2011.山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛, 甲对A、乙对B,丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为 0
11、.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的分布列和数学期望EO解(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则D, E , F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为 P(D) = 0.6, P(E) = 0.5, P(F) = 0.5,由对立事件的概率公式知P(D) = 0.4, P(E) = 0.5, P(F) = 0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF, DEF, DEF, DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜 的概率为 P = P
12、(DeF ) + P(D E F) + P( DEF) + P(DEF) = 0.6 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5 + 0.4 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5 = 0.55.(2)由题意知E可能的取值为0丄2,3.又由(1)知DEF, DEF, dEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(d= 0)=P(DEF) = 0.4 X 0.5 X 0.5 = 0.1,p(d= 1)=p(DEf)+p( DeF)+p(def )= 0.4 X 0.5 X 0.5+ 0.4 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5
13、= 0.35,P=3)=P(DEF) = 0.6 X 0.5 X 0.5 = 0.15.由对立事件的概率公式得P= 2)=1 - P= 0) - P= 1) - P= 3) = 0.4.所以e的分布列为：e0123p0.10.350.40.15因此 E( = 0X0.1 +1X0.35 + 2X0.4+3X0.15 = 1.6.考向三 独立重复试验与二项分布【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3.(1) 设x为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2) 设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布
14、列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.审题视点首先判断分布的类型，再根据X, Y的取值所对应的事件意义求解. 解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为3,且每次试验结 果是相互独立的，故XB6, 3)所以X的分布列为P(X=k 尸 c6(3D6k，k = 0,1,2,3,4,5,6.(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取 值为 0,123,4,5,6.其中：Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k +1个路口 遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P(Y= k) = 3伙=0丄2,3,4,5)，而Y= 6表示一路没有遇上红灯.故其概率为P(Y=6) =用6, 因此Y的分布列为:Y012311 21(21(2P|-|2-|33333乜丿3乜丿Y456P3 H3 (3)0(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为X$1 = X=1 或 X=2 或或 X=6,所以其概率为P(X21)=工 P(X=k)=1 P(X=0)k=i=1_(1)=729
