一、奇偶校验码 奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性同样，偶性码字具有偶数个1再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）所以奇偶校验不能发现奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：偶校验位 an =a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1， 奇校验位 an =NOT（a0⊕a1⊕a2⊕…⊕an-1）。
在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中原有信息中的数字在接收机中被检测， 如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发 在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码 现在考虑一个系统， 它传输若干个长度为m位的信息如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位 m位数字横向奇偶位n个码字a1a2…am-1amHP1b1b2…bm-1bmHP2c1c2…cm-1cmHP3………………n1n2…nm-1nmHPnVP1VP2…VPm-1VPmHPn+1纵向奇偶位图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码 研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正 在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）是奇校验还是偶校验。
并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）然后找只有一个未知数的行或列，根据校验性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数 二、循环冗余校验码 Cyclic Redundancy Check在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力 循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。
可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位 多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x) 如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011 而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1 2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示： NK码距dG(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+11011115113x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+111101000131263x5+x2+110010131215x10+x9+x8+x6+x5+x3+163573x6+x+1100001163515x12+x10+x5+x4+x2+110411024 x16+x15+x2+10101图9 常用的生成多项式 3、模2除（按位除） 模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。
所以实际上就是异或然后再移位移位做下一位的模2减步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数 【例】1111000除以1101： 1011———商 ———— 1111000-----被除数 1101———— 除数 ———— 010000 1101 ———— 01010 1101 ———— 111————余数 CRC码的生成步骤 1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数 2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码 【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+14位的原始报文为1010，求编码后的报文 解： 1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011 2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除： 1001-------商 ------------------------ 1010000 1011----------除数 ------------ 1000 1011 ------------ 011-------余数（校验位） 5、编码后的报文（CRC码）： 1010000 + 011 ------------------ 1010011 CRC的和纠错 在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。
若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系 收到的CRC码字余数出错位码位A7A6A5A4A3A2A1正确1010011000无错 误10100101010001101011110110111000011111001100100110010101000111101111011234567图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011） 如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环例如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来这是一个有价值的特点如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。
图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因 【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111做了4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011 通信与网络中常用的CRC 在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位它只能检测出错误，而不能纠正错误一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1 一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。
例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错所以CRC码的检错能力还是很强的这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错) 协议结构 8162440 bitsVariable…16-32 bitsFlagAddressControlProtocolInformationFCS· Flag ― 表示帧的起始或结束，由二进制序列01111110构成 · Address ― 包括二进制序列1111。