全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．已知2阶行列式，，则（ B ）A． B． C． D．．2．设A , B , C均为n阶方阵，，，则（ D ）A．ACB B．CAB C．CBA D．BCA．3．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且，，则行列式之值为（ A ）A． B． C．2 D．8．4．，，，，则（ B ）A．PA B．AP C．QA D．AQ．5．已知A是一个矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2B．若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2C．若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0D．若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为06．下列命题中错误的是（ C ）A．只含有1个零向量的向量组线性相关 B．由3个2维向量组成的向量组线性相关整理为word格式C．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D．2个成比例的向量组成的向量组线性相关7．已知向量组线性无关，线性相关，则（ D ）A．必能由线性表出 B．必能由线性表出C．必能由线性表出 D．必能由线性表出注：是的一个极大无关组．8．设A为矩阵，，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ D ）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n 注：方程组Ax=0有n个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ A ）A． B． C． D．，所以A与有相同的特征值．10．二次型的正惯性指数为（ C ）A．0 B．1 C．2 D．3，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式的值为_____________．．12．设矩阵，，则_____________．．13．设，，若向量满足，则__________．整理为word格式．14．设A为n阶可逆矩阵，且，则|_____________．．15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则_____________．个方程、个未知量的Ax=0有非零解，则0．16．齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_____________．，基础解系所含解向量的个数为．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为_________．A有特征值，则有特征值，有特征值．18．设矩阵的特征值为，则数_____________．由，得2．19．已知是正交矩阵，则_____________．由第1、2列正交，即它们的内积，得0．20．二次型的矩阵是_____________．整理为word格式．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式的值．解：．22．已知矩阵，，求（1）；（2）．解：（1）；（2）注意到，所以．整理为word格式23．设向量组，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：，向量组的秩为3，是一个极大无关组，．24．已知矩阵，．（1）求；（2）解矩阵方程．解：（1），；（2）．25．问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解： ．整理为word格式时，，有惟一解，此时，；时，，有无穷多解，此时，，通解为，其中为任意常数．26．设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使．解：由，得，．．对于，解：，，取；对于，解：整理为word格式，，取；对于，解：，，取．令，则P是可逆矩阵，使．四、证明题（本题6分）27．设A，B，均为n阶正交矩阵，证明．证：A，B，均为n阶正交阵，则，，，所以． 全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（ C ）．A． B． C．6 D．122．计算行列式（ A ）A． B． C．120 D．180整理为word格式．3．若A为3阶方阵且，则（ C ）A． B．2 C．4 D．8，．4．设都是3维向量，则必有（ B ）A．线性无关 B．线性相关C．可由线性表示 D．不可由线性表示5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（ C ）A．2 B．3 C．4 D．5由，得4．6．设A、B为同阶方阵，且，则（ C ）A．A与B相似 B． C．A与B等价 D．A与B合同注：A与B有相同的等价标准形．7．设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（ D ）A．0 B．2 C．3 D．24的特征值分别为，所以．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（ B ）A．A与B等价 B．A与B合同 C． D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量与正交，则（ D ）整理为word格式A． B．0 C．2 D．4由内积，得4．10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（ B ）A．A正定 B．A半正定 C．A负定 D．A半负定对应的规范型，是半正定的．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设，，则______________．．12．设A为3阶方阵，且，则______________．．13．三元方程的通解是______________．，通解是．14．设，则与反方向的单位向量是______________．．15．设A为5阶方阵，且，则线性空间的维数是______________．的维数等于基础解系所含向量的个数：．16．整理为word格式．17．若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则______________．只有零解，所以可逆，从而．18．实对称矩阵所对应的二次型______________．．19．设3元非齐次线性方程组有解，，且，则的通解是______________．是的基础解系，的通解是．20．设，则的非零特征值是______________．由，可得，设的非零特征值是，则，．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式．整理为word格式解：连续3次按第2行展开，．22．设矩阵X满足方程，求X．解：记，，，则， ，，．23．求非齐次线性方程组的通解．解：，整理为word格式，通解为，都是任意常数．24．求向量组，，的秩和一个极大无关组．解：，向量组的秩为2，是一个极大无关组．25．已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，，；对于，解齐次方程组：，，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数．整理为word格式26．设，试确定使．解：，时．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解．证：因为是的解，所以，是的解；设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关．整理为word格式全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式=4，则行列式=（ ）A.12 B.24C.36 D.482.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（ ）A.A-1CB-1 B.CA-1B-1C.B-1A-1C D.CB-1A-13.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（ ）A.A-E B.-A-EC.A+E D.-A+E4.设是四维向量，则（ ）A.一定线性无关 B.一定线性相关C.一定可以由线性表示 D.一定可以由线性表出5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（ ）A.A=0 B.A=EC.r(A)=n D.0
错填、不填均无分 11.行列式=0，则k=_________________________. 12.设A=，k为正整数，则Ak=_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=_________________________. 14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_________________________. 15.设A是m×n矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=_________________________. 16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=________. 17.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=________________________. 19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=__________________. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_________.整理为word格式。