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1、三湘名校教育联盟2017届高三第三次大联考理科数学第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知命题中，若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A的逆命题 B的否命题 C的逆否命题 D的否定3.已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，则（ ）A1 B-1 C0 D2 4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间上随机选取一个数，的概率为（ ）A B C. D5.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三
2、角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D第四象限6.函数的图象大致是（ ） A B C. D7.若的展开式中的系数为（ ）A36 B-144 C.60 D-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（ ）A B C. D9.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）A B C. D10.一个
3、等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（ ）A13 B12 C.11 D1011.如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于，四点，则的值为（ ）A B1 C. D12.已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷：非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为 14.已知实数，满足，则的最小值为1，则 15.以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平
4、飘移速度是 16.已知平面向量，满足，存在单位向量，使得，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数.（1）若在上的值域为，求的取值范围；（2）若在上单调，且，求的值.18. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型：与模型：作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20222426283032产卵数/个61021246411332240048457667678490010241.7
5、92.303.043.184.164.735.7726692803.571157.540.430.320.00012其中，附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：，）（3）若模型、的相关指数计算得分分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19. 已知三棱台中，,，平面平面，（1）求证：平面
6、；（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.21. 已知函数.（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请
7、说明理由.请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（1）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点，分别为曲线，上的动点，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题：1-5:CDABB 6-10:DDBCB 11、12：DB二、填空题13.16 14.1 15.20 16.三、解答题17.解答：.（1）由，在上的值域为即最小值
8、为，最大值为，则，得综上：的取值范围是（2）由题意在上单调，得由，得或，或，又，所以或；当时，在上单调递增，符合题意，当时，在上不单调，不符合题意，综上：18.解答（1）画出关于的散点图，如图：关于的散点图，如图根据散点图可判断模型更适宜作为回归方程类型（2）对于模型：设，则，其中，所以，当时，估计温度为.对于模型：，其中，所以，当时，估计温度为（3）因为，所以模型的拟合效果更好19.（1）延长，交于点及棱台性质得，所以因为平面平面平面所以平面，平面，所以,又，所以，所以平面（2）由于，由知，所以，且，以为坐标原点，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则，设设平面的法向量为,由，可取是平面
9、的个法向量，由二面角的大小为得：所以为中点，设与平面所成角为，则所以与平面所成角为正弦值为20.解:（1）由题意垂直平分，所以所以的轨迹为以，为焦点、长轴长为的椭圆，焦距，所以，所以动点的轨迹为曲线的方程是：（2），设的方程是，设，由得，所以，.因为在轴上方，直线、的方程分别是：，联立得：动点恒在定直线：上21.解:（1）由已知，函数的定义域为，由在定义域上单调递减，则恒成立，所以，当时，单调递增，当时，单调递减即在内单调递增，内单调递减，所以（2）当时，恒成立，当时，由（1）知，在内单调递减，（i）若，由（1）知，在内单调递减，则，无零点，不符合题意;（ii）若，设，所以，又，所以存在，使得，即，且当故当时，有，当时，有，则在内单调递增，内单调递减，由于恒成立，且有唯一零点，结合，知，联立得设，则，且当时，所以在上有唯一零点即满足方程组的唯一，且设，所以在上单调递增，即满足方程组的，所以.综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点22.解答（1）曲线：，消去参数，得，曲线：，联立，消去可得：或（舍去），所以（2）曲线：，是以为圆心，半径的圆.设圆心为，点，到直线的距离分别为，则，所以的最小值为23.解答（1）当时，在单调递减，在上单调递增，时，取得最小值（2）当时，符合题意：当时，的解集为，所以，从而，得，当时，的解集为，所以，从而或，得，综上：符合题意要求的实数的取值范围是
