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1、2.3热点小专题二、导数的应用必备知识精要梳理1导数的几何意义函数y=/U)在点儿)处的导数是曲线尸用)在PCWU)处的切线的斜率/(jo).2常用的导数及求导法则(1 )(xm)/=/nxm1Xsin x)f=cos x,(cos x)-sin A(ex)-c(ln x)-avln a,(lognX)f=.(2)/U)+g(x)吋+g;/(x)g(x)h(x)g(x)+心)gtr);锯一，二八浑泸(”)加.)绚. 3函数的极值 最值若在劝附近左侧/(j)0,右侧f(x)vO,则几m)为函数./U)的极大值;若在血附近左侧 .f(A)0,则人刘)为函数几丫)的极小值.(2)设函数尸拒)在M上连
2、续，在(M)内可导，则金)在“上必有最大值和最小值IL在极 值点或端点处取得.关键能力学案突破热点利用导数求曲线的切线【例1】(1)(2020福建福州模拟，理7)已知函数.心)为偶函数，当x0时金)二启mg),则曲 线)=/(“)在a- 1处的切线方程为()A. x-y=0B.x-y-2=0C.x+y-2=0D.3x-y-2=0(2020全国/,理10)若直线/与曲线尸仮和圆都相切，则/的方程为() DA.y=2x+1C.y 寺+1B. y=2x+扌D.y 二列解题心得求曲线y=M的切线方程的三种类型及方法（1）已知切点PUoJo）求切线方程，利用k三fg再由点斜式写出方程.（2）已知切线的斜
3、率为求切线方程,设切点户（“,为）,通过方程r二r（“）,解得X。,再由点斜式 写出方程.（3）已知切线上非切点的一点（M）求切线方程,设切点则心八丸）二沁j尸心）解得 汕,再由点斜式写出方程.【对点训练1 （1）（2020全国/,理6）函数用）*2?的图象在点（1*1）处的切线方程为（）A. y=-2r-lB.y=-2x+lC. y=2x-3D.y=2r+1（2）（2020山东徳州二模,14）已知/U）为奇函数，当ao或ruxo.已知函数的单调性，则转化为不等式.r（x）$o或.rmwo在单调区间上恒 成立问题来求解.【对点训练31 （1）若函数.几丫）二x-fsin 2v+asinx在区间
4、（8+co）单调递增，则a的取值范围 是（）C-l Z。丄 33 （2）设Q）（lnz）,若函数用）在区间LieJ单调递减,则实数a的取值范围为类型二已知极值、最值或恒成立求参数范围【例4】（2020山东青岛5月模拟,8）已知函数用）二哼,若几召在（0,+00）上恒成立,e 为口然对数的底数，则实数加的取值范围是（）A./neB.吨Cjh 1D.myfe函数 Jtx)=n x+d-dx(x0)在区间；3】上有11仅有一个极值点,则实数a的取值范围是（）A.色3B.S）22 3C矣D2罟解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问題，通过对问题的转化，一般 都变成通过研究函数的极值、最值
5、得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题，最终还是通过求最值得到解决.【对点训练4设函数/（x）=V3sin.若存在几丫）的极值点xo满足x02+fxo）2in2,则m的 取值范围是A.(-oc,-6) U (6,+00)B.(-oo,-4) U (4,+oc)C.(-8,-2) U (2,+oo) D.(-oo,-l)U(l,+oc)类型三已知函数零点情况求参数值或范围【例5已知函数f(x)=x2+x-a(x)=(2a-V)x+anx,若函数y=fix)与函数y=g(x)的图象恰 好有两个不同的交点，则实数d的取值范围为.解题心得1.利用导数研究函数零点问
6、题的思路讨论函数./U)=(x)-/?(x)的零点个数，转化为讨论函数)=g(x)与y=li(x)的交点个数，通过 函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点，再利用导数研究函数的 单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.2已知函数零点情况求参数值或范围问题，一般思路是通过求函数的导数及对参数分类 讨论确定函数的极值，参照函数图象的变化趋势，看参数在什么范围满足零点情况的要求. 有时根据题意转化为两个函数图象交点个数，因此解决此类问题要注重数形结合.【对点训练5】已知函数/U)二2
7、，.与g(x)=2cln x+rnx的图象有4个不同的交点，则实 数也的取值范围是()A.(40)B.(扌,2)C0?)D.(0,2)热点四利用导数求实际问题中的最值【例6 (2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示： 谷底O在水半线MN上，桥与MN平行QO,为铅垂线(O在上).经测量，左侧曲线 AO上任一点D到MN的距离加米)与D到00的距离d(米)之间满足关系式加二滸&右 侧曲线BO上任一点F到MN的距离他(米)与F到00的距离b(米)之间满足关系式 /?2=-A-P+6/z已知点B到00的距离为40米.（1）求桥AB的长度；计划在谷底两侧建造平行于00
8、的桥墩CD和F,J1 CE为80米，其中C在AB上（不 包括端点）.桥墩EF每米造价R（万元），桥墩CD每米造价软（万元）伙0）,问为多少米时, 桥墩与的总造价最低？解题心得关于三角函数，几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的 往往并不是用导数的方法求最值，但在一般方法不易求的情况下，能想到用导数的方法求 最值，问題就容易多了.【对点训练61（1）（2020湖南湘潭三模，理7）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年 最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕.成本增加0.5元.如果销售额函数是 fx）=lxLax2x（x是莲藕种植量，单位:万斤;销售额的单位:万元,d是常数）,
9、若种植2万8 16 2斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤(2)(2020四川三台中学期中、理12)如图所示,四边形是边长为30 cm的正方形硬纸 片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得A.B.CD四个点 重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大，则 EF的长为cm.核心素养微专题(二)例析“数学建模“在导数研究函数中的应用【例1】已知.心)=x+ l,g(x)=ln X,若人“)二g(X2),则X2-XI的最小值为()B. 2+ln 2D.2C. 2-ln 2核心素养分
10、析要求七以的最小值，需要建立关于勺调的函数模型,即用某一个莹表示出 X2-Q,依据已知条件，可设.心1)二gg)二/，从而用/表示出和从而得到关于4V1的函数 模型，研究函数模型得出最值.【例2】(2020安徽马鞍山二模2)己知函数.心)的定义域为冷冷)/是金)的导函 数fU)cos x+J(x)sin xvO,则关 J： x 的不等式/(x)0时小0,心力二舄“尤又函数心)为偶函 魏所以心尤翘)丸所以门力三乙/丸故切线方程为y-1 =x-l,即A尸.故选A.(2)由厂仮得/电务设直线/与曲线厂仮的切点为血辰)测直线/的方 程为y 莎=壽(*丸)，即嘉召辰电由直线/与圆0伊相切,得圆心(0,0
11、倒直线/的距离等于圆的半径刍 即&旦 =g解得心1(负值舍去)，所以直线/的方程为对点训练1B (2)y=ex-2e解析(1)对函数4力求导可得门力=4“-60,由导数的几何意义知在点(1/1)处 的切线的斜率为Qf=2.又因为/tl)=-l,所以切线方程为y-(-l)=-2(x-l),化 简得 y=-lx+Y.因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且舄2e(x丄在xe(l,上恒成立.又当%e(l, -g)时Q 2 vl,故Q1.故选D.XX因为 心)=043-科所以f =2x-A-a.由题意/1=2*4“眉0,即 a2xAex有解.令久力=2*4站则 g(a) =2 4e.令g(a)解得 x=-r 2.当(-co-In 2)时，函数g(x) =2xA单调递增;当xe(-ln 2, 一呦时,函数=2xAe单调递减所以当x=-ln 2时似力=2x47取得最大值？2ln 2,所以a0,当cos x=-l时用力n0,(45 r + a + - 0,:5-j-a + -0,解得斗3 |-(方法二)令 cosxe-l,l
