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1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）14不等式的证明不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛 和高考的热门题型证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的 依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：，二1这是不等式的定义，也是比较法的依据对一个不等式进行变形的性质：（1）1 （对称性）（2）： （加法保序性）（3）-! （4） 11 .；| . . . . ： I对两个以上不等式进行运算的性质.（1）（传递性）这是放缩法的依据（2）:圧nmn（3）良一劈一匝3 b abO,dc be,（4）含绝对值不等式的性质
2、：（1）|疋百.疚/二l： h名孑-禺注江（2）| （3）卜|0|S“士枷|引*|b| （三角不等式）证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、 构造函数方法等当然在证题过程中，常可 由因导果”或 执果索因”前者我们称之 为综合法；后者称为分析法综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分 析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式 的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法例题讲解0、求证:血脸（方+ c）+席讥6宓,4设 * *、，且各不相同,| 4 一4 斗一 召事三*斗
3、斗申弋求证：【 ：=-:.5利用基本不等式证明 - LT :玄矗仇6. 已知求证：7. 利用排序不等式证明（| r （I+）巴&证明：对于任意正整数 R，有9. n为正整数，证明:- 1 1 | 打（1 + n）a+ + -+ + n-n- ）n 11课后练习1. 选择题2 2（1方程x -y =105的正整数解有（A） 组 （B）二组（C）三组（D）四组（2在0,1,2,，50这51个整数中，能同时被2, 3, 4整除的有（）.（A）3 个（B） 4 个（C） 5 个（D） 6 个2. 填空题（1）的个位数分别为及.（2满足不3蹴严等式104 1, q 1,试求p+q的值.的整数A的个数是x
4、 X 104+1,则x的值3（3已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为.2 2（4求出任何一组满足方程 x -51y =1的自然数解x和y.3. 求三个正整数x、y、z满足1114一+ +=x y z 5.4. 在数列4, 8, 17, 77, 97, 106, 125, 238中相邻若干个数之和是 3的倍数，而不9.如果 p、q、/是9的倍数的数组共有多少组？课后练习答案1. D.C.2. (19 及 1.(29.(34.2 2(4原方程可变形为x =(7y+1 +2y(y-7,令y=7可得x=50.34 1 4 2 2 1i：/i 一礼一一0 - _3. 不妨设x y乙则,故x2.
5、若x=2,则,故y 6.又有；，故y4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3 y 4,y=3或4,z都不能是整数.4. 可仿例2解.5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换 的方法.略解岭小二 n 宀、出；三式相加再除以2即得证.评述：(1)利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等 技巧.+如.A, + * Xn，可在不等式两边同时加上JJu+峠* .13 12再如证w十川触 皿十ME d氏节几 gm (h时，可连续使用基本不等 式.占+方、# + X() (2) 基本不等式有各种变
6、式如等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.2222 26.88 88= 8(mod37,. 8888=8 (mod37.3333322223333237777三7(mod37,7777三7 (mod37,8888+7777 三(8 +7 (mod37,而238 +7 =407,37|407,二 37|N.2 27. 简解:原方程变形为3x-(3y+7x+3y -7y=0由关于x的二次方程有解的条件厶。及y为整数可得 0wy n-m 0,二 n+m=l ,n-m=1.于是2 2 2 2l 二n+m=(m+1+m=2m+1,2m=1,2(l+m+1=
7、2l+2+2m=l+2l+1=(l+1.即 2(l+m+1 是完全平方数.2p -1 2g _ 9. 易知pzq,不妨设p q.令 I/ =n，则m n由此可得不定方程(4-mnp=m+2,解此方程可得p、q之值.例题答案: !1.证明：池（2+加十阳旅计+仙F* 3卜励加=a(b)1 + cr1 - 2bc) + bia1 + c2 - 2ac) +M - lab=b- c) + /hc-十 f(占一 by之0ab(a b) + bc(b+ c) + ca(c a) 6必,评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因 式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明:
8、时，可将ti- by + (b-r)2 + (c- a)2亦可利用-IM+Mzr)配方为 2J，-，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法 .a b不等式关于.对称，不妨 浓池仁肛-淞代冒，且.，都大于等于1.亍eT .CTa(-)b评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定个字母的大小顺序，可方便解题（2）本题可作如下推广：若%苣（3） 本题还可用其他方法得证。因，同理，另，4式相乘即得证.（4） 设-例3等价于 X 类似例4可证月lg时blgb*Eg佗訂g卄川g cig池Igc+ftlgA+clg.事实上，一般地 有排序不等式
9、（排序原理）：设有两个有序数组跖玄匕汀宅J爲忙逬薔汇 则（顺序和）+ 人（乱序和）（逆序和）其中的任一排列.当且仅当或时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个 有序数组的积的形式.如趴b,z斤时，/ +卩+八几a4 + V3思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证 明u b仁则孑2 b1 2/丄* /丄卡圧丄不妨设.，则-（乱序和）2 1 I 2 I2 I u 15 I3 r 一 + b + 一 + c a 一 + b + c 一a b c （逆序和），同理 c 蛊 b （乱序和）2 1 I : Ia * + b * +
10、f * 3 b c （逆序和）两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再 2 ft1工/及丄2 考虑数组 ，仿上可证第二个不等式.空“丄4.分析：不等式右边各项；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.设的重新排列，满足，又（1吐砒皿 S 妬 已tl. + + 2 + - + +L L L所以.由于是互不相同的正整数，故二-从而二：亍 fv?，原式得证.评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，丁 +护2韭6+ b街J + b + c 2 茁+ 犷 亡 + 才忑興；三式相加再除以2即得证.评述：（1利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等 技巧. 丰 斗一2+
11、心 4 4- Xn如，可在不等式两边同时加上再如证1 - -时，可连续使用基本不等式 呂 + b *+ b2(Y s(2)基本不等式有各种变式如等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.6. 思路分析：不等式左边是、 的4次式，右边为常数，如何也转化为、的4次式呢.+ / 2+ 胪 z -(a +要证即证评述：(1)本题方法具有一定的普遍性.如已知；求证:I JK +勺J 1J1J+ X. .-一(.V. + A | + A) ,w . I v _ | j3右侧的可理解为3再如已知十勺十如-H，求证：3.V v V-（逆序和）=n,a. 込+ a, + *+：_L+_L+几即 _= G .1 1 1 I V评述:对各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，+丄r I+-8. 分析:原不等式等价于，故可设法使其左边转化为n个数的几何平均，而右边为其算术平均.fl(1 + )1 =1(1 + )*(! + 丄卜 (II + )*(! + ) + I =十 2 = 4 -一. n 叫 Hnitn打+ 】
