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1、第六章 微分方程一、一阶微分方程1、一阶线性方程 2、伯努利方程 令二、可降阶的高阶方程1 次积分2 不显含令，化为一阶方程 。3 不显含自变量令，化为一阶方程。三、线性微分方程，时称为齐次的，称为非齐次的。 1二阶线性齐次线性方程 （1）如果函数与是方程(1)的两个解，则 也是(1)的解,其中是任意常数。如果与是方程(1)的两个线性无关的特解,则 (是任意常数)是(1)的通解.两个函数与线性无关的充要条件为整理为word格式（常数）2二阶线性非齐次线性方程设是二阶线性非齐次线性方程 的一个特解,是它对应的齐次方程(1)的通解,则 是该方程的通解.设与分别是二阶线性非齐次方程 与 的两个特解。
2、则是的特解。（叠加原理）3.二阶线性常系数齐次方程 特征方程，特征根 特征方程的根的通解两个不相等的实根两个相等的实根 一对共轭复根4二阶线性常系数非齐次方程 i) 如果 ,则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 的特解。其中，是次多项式, 也是系数待定的次多项式；依照为特征根的重数而取值.i) 如果,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为 整理为word格式其中是系数待定的次多项式,依照特征根的重数取值.四、欧拉方程二阶欧拉方程 ，其中为常数.作变换，则有 , 。原方程变为二阶线性常系数方程 。第七章 空间解析几何一、1、，其中是与的夹角；2、向量积满足下列运算律：1）反交换律 ；2）结合律 ，
3、其中是数量 ；3） 左分配律 ，右分配律 3、4、若，则称为单位化向量，并有此时 其中 是的方向余弦整理为word格式三、1、旋转面方程yoz平面上的曲线C： 绕z轴的旋转面方程为；绕y轴的旋转面方程为类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程2、柱面方程以xoy平面上的曲线C ：为准线，母线平行于z轴的柱面方程为同理方程和分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程 中，经过同解变形分别消去变量，则可得到在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为：； ； 四、1、平面方程 1）点法式：过点，法向量的平面方程为，2）一般式： ，其中不全为零3）截距式：4
4、）两个平面之间的关系设两个平面1与2的法向量依次为和1与2的夹角规定为它们法向量的夹角（取锐角）此时整理为word格式2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAAnnnn+=rrrrq2、直线方程 1）一般式：将直线表示为两个平面的交线 2）若直线经过点且与方向向量平行，则的方程为i) 对称式：ii) 参数式：， 3）两条直线之间的关系设两条直线L1和L2方向向量分别为 ，L1 与 L2 的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）于是 3、直线与平面的关系设直线L 的方向向量为，平面 的法向量为L与的夹角规定为L与它在上投影直线的夹角（锐角）这时 L 与 垂直的充
5、要条件是 L 与 平行的充要条件是 xOy图3z五、1、椭圆抛物面： ， 整理为word格式其中（图3） 例如，等y zxO图42、椭圆锥面： ，其中 （图4）例如，圆锥面图5zyOabx3、单叶双曲面 ，其中（图5）例如 x zOyc-c（图6）4、双叶双曲面 ，其中（图6）例如 第八章 多元函数的微分学一、1偏导数 整理为word格式对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数2高阶偏导数二元函数的二阶偏导数 ，或 ，；，或 ，； 及称为二阶混合偏导数3、全微分二元函数在点处的全微分三元函数的全微分，并有4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、
6、连续的关系与一元函数的情况有所不同在多元函数中1）可微必可导，可导不一定可微；2）可微必连续，连续不一定可微；3）可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）：a.若，则复合函数的导数为=+；b.若，则复合函数的偏导数整理为word格式=+ ， =+；6、隐函数的偏导数1）方程 所确定的隐函数的导数为 2）方程 所确定隐函数的偏导数为 ， 二、1、取得极值的必要条件如果函数在点的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则 ， 可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点2取得极值的充分条件设在驻点的某个邻域内有二阶的连续偏导数令, ,
7、，于是有 1）如果，则点是函数的极值点当时，是极大值 ， 当时，是极小值2）如果，则点不是函数的极值点3）如果，则函数在点有无极值不能确定，需用其它方法判别3条件极值1）求二元函数在约束条件=0下的极值，可以按照如下步骤进行：i) 构造拉格朗日函数 ；整理为word格式ii) 解方程组 若 是方程组的解，则是该条件极值问题的可疑极值点三、多元微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面给定空间曲线 ，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为零（光滑曲线）上的点 对应的参数为则曲线在点处的切向量为，此时的切线方程为 曲线在点的法平面方程为 2曲面的切平面与法线给定曲面的方程 ，函数有连续的偏导数且三
8、个偏导数不同时为零（光滑曲面）点是上的一个点则曲面在点处的法向量为，此时的切平面方程为 ，曲面在点的法线方程为 整理为word格式四方向导数与梯度1若函数 在点可微，方向的方向余弦为 ，则函数在点沿方向的方向导数为2设函数在空间区域内可微，则函数在点处的梯度定义为一个向量grad 梯度方向是函数变化率最大的方向在梯度方向上函数的方向导数取得最大值 第九章 重积分一、 二重积分的计算1直角坐标下二重积分的计算1）若积分区域可以表示为： ，则2）若积分区域可以表示为 ： ，则2极坐标下二重积分的计算 直角坐标与极坐标的关系为 ， 此时面积元素为或若在极坐标下积分区域可以表示为 ，则整理为word格
9、式二、三重积分的计算，表示的体积1直角坐标下三重积分的计算1）“先一后二”法若积分区域可表示为 :，则 其中是在xoy坐标面上的投影2) “先二后一”法设积分区域在z轴上的投影区间为用平面（常数）去截，截面为则 其中 是将投影到xoy坐标面上所做的二重积分2柱面坐标下三重积分的计算直角坐标与柱面坐标的关系为 ，则体积元素为或 若积分区域在柱面坐标下可表示为，则 整理为word格式3球面坐标下计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系为 ， 体积元素为 或 如果积分区域在球面坐标下可表示为 ： ，则 4.简算：对称奇偶性， 重心公式。三、重积分的应用1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 2质量密度为，则平面
10、板的质量 密度为 ，则物体的质量为 3曲面面积设曲面的方程为 ，其中是有界闭区域，在上有连续的偏导数则曲面的面积为面积微元第十一章 无穷级数一、整理为word格式1、a.收敛收敛收敛，收敛发散发散，发散发散敛散不定。b.收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变.2、两个重要级数及其敛散性1）几何级数.当时该级数收敛，其和为；当时该级数发散.2）-级数.当时，该级数收敛；当时，该级数发散.当时称级数为调和级数，它是一个发散级数.二、 正项级数的审敛法 （ ，）1）（比较审敛法）设 和都是正项级数，且钻圈子原理若强级数收敛，则弱级数收敛；若弱级数发散， 则强级数发散.破记录原理2) (比较审
11、敛法的极限形式) 整理为word格式设与都是正项级数. 如果 则级数和级数同时收敛或同时发散.（若或如何？）3) （比值审敛法）若正项级数满足 ，则当时，级数收敛；时，级数发散；时，级数可能收敛也可能发散.4）（根值审敛法）若正项级数满足 ,则当时，级数收敛；时，级数发散;时，级数可能收敛也可能发散.5. 交错级数的莱布尼兹审敛法设,则称级数为交错级数.整理为word格式定理（莱布尼兹审敛法）设为交错级数.如果满足： 1）对一切自然数有； 2），则收敛，且其和.6级数的绝对收敛和条件收敛如果级数收敛，则称级数绝对收敛.如果收敛，而发散，称级数条件收敛.对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛.
12、三、幂级数(， )1阿贝尔定理2幂级数收敛半径 ； 收敛区间。收敛域：收敛区间加入收敛的端点收敛半径的求法1）对于幂级数，如果，则；2）对于幂级数，如果，则整理为word格式2. 幂级数的性质性质1. （和函数连续性）幂级数的和函数在收敛域内是连续的。性质2.（逐项积分）设幂级数和函数在收敛区间可逐项积分 逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径. 性质3.（逐项求导）幂级数的和函数在收敛区间内有逐项求导公式：,逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.3幂级数的运算1）幂级数的加减法若收敛域，则 的收敛域为。2）幂级数的乘法设幂级数与的收敛半径分别为，.则这两个幂级数乘积的收敛半径，且在上恒有整理为word格式4. 函数的幂级数展开式设在点附近有任意阶导数，则称幂级数为在点的泰勒级数，称 为在点的泰勒系数.特别，当时，称幂级数为的马克劳林级数，称为的马克劳林系数. 根据函数的幂级数展开式的唯一性知，如果在点的一个邻域内能展开成幂级数，则该幂级数必为在点的泰勒级数.l 设函数在点的邻域内有
