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1、2010届高三数学精品讲练：圆锥曲线一、典型例题例1、 根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。分析：法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=4，因，故点（-3，）在射线（x0）及x轴负半轴之间， 双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为，（a0，b0） 解之得： 双曲线方程为 （2）设双曲线方程为（a0，b0）则 解之得： 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（3） 设双曲线方程为 解之得：k=4 双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当0时，焦点在x轴上；当0，b2-k0）。
2、比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当PF2F1=900时，由得： ， 当F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 法二：当PF2F1=900， P（）又F2（，0） |PF2|= |PF1|=2a-|PF2|=当F1PF2=900，由得： P（）。下略。评注：由|PF1|PF2|的条
3、件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手 |PM|-|PN|=2m 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|m，x2m2 又0m20 且m0 评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点
4、M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；当l斜率存在时，设l：y=kx+bl与O相切，设切点为M，则|OM|=1 b2=k2+1 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k1且0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 l：或法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1当y0=0时，x0=1，显然只有x=-1满足；当y00时，代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x
5、-1=0 y02+x02=1 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：即2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=1(舍)，x0= y0=。下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例5、A、B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，且OAOB，（1） 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2） 求证：直线AB过定点；（3） 求弦AB中点P的轨迹方程；（4） 求AOB面积的最小值；（5） O在AB上的射影M轨迹
6、方程。分析： 设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）（1） OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 （2） y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 直线AB： AB过定点（2p，0），设M（2p，0） （3）设OAy=kx，代入y2=2px得：x=0，x= A（）同理，以代k得B（2pk2，-2pk） 即y02=px0-2p2 中点M轨迹方程y2=px-2p2 （4） 当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 评注：充分利
7、用（1）的结论。 （5）法一：设H（x3,y3），则 AB：即代入y2=2p得由（1）知，y1y2=-4p2 整理得：x32+y32-2px3=0 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0）法二： OHM=900，又由（2）知OM为定线段 H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）（1） 求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？分析：（1） 法一：显然AB斜率存在 设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-
8、k2+4k-6=0 当0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 k=1，满足0 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得：0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。 （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD
9、上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）则 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。同步练习（一） 选择题1、 方程表示的曲线是A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定2、把椭
10、圆绕它的左焦点顺时针方向旋转，则所得新椭圆的准线方程是 A、 B、 C、 D、3、方程的曲线形状是A、圆 B、直线 C、圆或直线 D、圆或两射线 4、F1、F2是椭圆（ab0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，则椭圆的离心率是A、 B、 C、 D、 5、若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是A、（0，1） B、（1，2） C、（1，+） D、与m有关6、以抛物线y2=2px（p0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是A、相交 B、相切 C、相离 D、以上三种均有可能 7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若A
11、B中点横坐标为2，则|AB|为A、 B、 C、 D、8、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），ABC内接于圆，BAC=600，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是A、x2+y2= B、x2+y2= C、x2+y2= D、x2+y2=（二）填空题9、已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是_。10、椭圆的离心率为，则a=_。11、高5米和3m的旗竿在水平地面上，如果把两旗竿底部的坐标分别定为A（-5，0），B（5，0），则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是_。12、若x，yR,且3x2+2y2=6，则x2+y2最大值是_，最小值是_。13、抛物
12、线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为_。（三）解答题14、求以达原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程。15、已知P（x，y）为平面上的动点且x0，若P到y轴距离比到点（1，0）距离小1（1） 求点P轨迹C的方程； （2）设过M（m，0）的直线交双曲线C于A、B两点，问是否存在这样的m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点。16、设抛物线y2=4ax（a0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，点P是MN中点（1） 求|AM|+|AN|的值； （2）是否存在这样的实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a；若不存在，说明理由。17、 设椭圆中心为0，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t（1） 求椭圆方程； （2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P轨迹。 18、已知抛物线y2=2px（p0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|2p，（1） 求a取值范围；（2） 若线段AB垂直平分线交x同于点N，求NAB面积的最大值。参考答案 （一）选择题1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D
