《专题十一：利用全等来证明三条线段之间的和差关系（带答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题十一：利用全等来证明三条线段之间的和差关系（带答案）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题十一：利用全等来证明三条线段之间的和差关系（带答案）知识回顾全等三角形考查的内容涉及到利用全等的性质来进行相关线段、角的计算及证明，其中证明三条线段之间的数量关系，是初二上学期考试的热点，也是学习中的难点，通过对全等三角形的性质的了解，学会处理在不同背景下的三条线段之间的数量关系，通过归纳梳理线段之间关系的常见类型，基本方法，有助于提高学生的观察、探究、概况与推理的思维能力. 全等三角形性质运用的作用:利用全等三角形的性质，我们可以处理线段之间的数量关系、位置关系，以及相应角度的求值、还有角度之间的对等及倍比关系的证明. 较复杂图形中全等三角形的找法:寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规
2、律是：把其中一个图形通过旋转、翻折、平移能与另一个图形全等，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，必要时要添加辅助线. 辅助线知识点睛:为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线辅助线通常画成虚线辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况辅助线的作用：把分散的条件转为集中；把复杂的图形转化为基本图形添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试典型例题类型一：较直观的全等来证明线段的和差【例1】如图，点B为AC上一点，ADCE，ADB=CBE，BD=EB求证：（1）ABDCEB； （2）AC=AD+CE【分析】（
3、1）根据平行线的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论【解答】（1）ADCE，A=C，在ABD与CEB中，A=C，ADB=CBE，BD=EB，ABDCEB（AAS）；（2）ABDCEB，AD=BC，AB=CE，AC=AB+BC，AC=AD+CE类型二：添加辅助线构造全等证明线段和差【例2】如图，在ABC中，AB=AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使ABE=ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AMBD于M求证：BM=DM-DC【分析】作ANCF于N，连接AD，先通过AMBANC求得BM=CN=DN-DC，AM=AN，然后通过证明R
4、TAMDRTAND得出DM=DN，即可求得BM=DM-DC【解答】如图，作ANCF于N，连接AD，AMBD，AMB=ADC=90，在AMB与ANC中，ABE=ACF，AMB=ADC，AB=AC，AMBANC（AAS）BM=CN=DN-DC，AM=AN，在RtAMD与RtAND中，AM=AN，AD=AD， RtAMDRtAND（HL）DM=DN，BM=DM-DC强化练习1如图，已知DCE=90，DAC=90，BEAC于B，且DC=EC（1）D和ECB相等吗？若相等，请说明理由；（2）ADCBCE吗？若全等，请说明理由；（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由【解答】（1）相等，理由如下：
5、DCE=90，DAC=90，ECBACD=90，DACD=90D=ECB；（2）全等，理由如下：在ADC和BCE中，DAC=CBE=90，D=ECB，DC=CE，ADCBCE；（3）能，BE和AC，理由如下：ADCBCE，AD=BC，AC=BEAC=ABBC，AC=ABADBE= ABAD2如图，点P为EAF平分线上一点，PBAE于B，PCAF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM=PN（1）求证：BM=CN；（2）写出线段AM，AN与AC之间的数量关系【解答】（1）点P为EAF平分线上一点，PBAE，PCAF，PB=PC，PBM=PCN=90在RtPBM和RtPCN中，PM
6、=PN，PB=PC，RtPBMRtPCN（HL）BM=CN；（2）AM+AN=2AC，理由如下：在RtPAB和RtPAC中，PB=PC，PA=PA，RtPABRtPAC（HL）AB=AC又BM=CN，AM+AN=（AB-MB）+（AC-CN）=AB+AC=2AC；故答案为：AM+AN=2AC3如图，点B，C，E三点在同一条直线上， CD平分ACE， DB=DA,DMBE于M.（1）求证：AC=BM+CM；（2）若AC=2，BC=1，求CM的长.【解答】（1）如图，作DNAC于点N， CD平分ACE，DMBE，DN=DM，在RtDCN和RtDCM中，CD=CD，DN=DM，RtDCNRtDCM（
7、HL），CN=CM，在RtADN和RtBDM中，AD=BD，DN=DM，RtADNRtBDM（HL），AN=BM，AC=AN+CN，AC=BM+CM；（2）AN=AC-CN, BM=BC+CM,AC-CN=BC+CM，AC-CM=BC+CM，2CM=AC-BC,AC=2，BC=1，CM=0.5.4如图，A+D180，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上(1)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系（2）探讨线段BE与CE之间的位置关系【解答】（1）BC=CD+AB；理由如下：延长BE交CD延长线于F，如图所示：A+D=180，ABCD，ABC+DCB=180，BE平分ABC，CE平分BC
8、D，EBC=12ABC，ECB=12BCD，EBC+ECB=12（ABC+BCD）=90，BEC=180-（EBC+ECB）=180-90=90，CEBF，CE平分BCD，BCE=FCE，在BCE与FCE中，BCE=FCE，BC=EC，BEC=FEC，BCEFCE（ASA），BC=FC，BE=FE，ABCD，ABE=F，在ABE与FDE中，ABE=F，BE=FE，AEB=FED，ABEFDE（ASA），AB=DF，BC=CF=CD+DF=CD+AB；（2）BECE；理由如下：A+D=180，ABCD，ABC+DCB=180，BE平分ABC，CE平分BCD，EBC=12ABC，ECB=12BCD
9、，EBC+ECB=12（ABC+BCD）=90，BEC=180-（EBC+ECB）=180-90=90，BECE5.如图，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明 【解答】BEDFEF，理由如下：如图，延长AB至点N，使BNDF，连接CN.ABCD180，NBCABC180，NBCD.在NBC和FDC中， NBCFDC(SAS)，CNCF，NCBFCD.BCD140，ECF70，BCEFCD70，ECN70ECF.在NCE和FCE中， NCEFCE(SAS)
10、，ENEF.BEBNEN，BEDFEF.6.如图，ABC90，点D为BC上一点，EC，1=9012EDC 求证：（1）12；（2）EDBC+BD【解答】（1）D在BC上，1+2180EDC， 1=9012EDC， 2=180EDC1=9012EDC， 12 （2）如图，延长DB至F，使BF=BD，可得ABDABF，AD=AF.BAD=12DAF，AD=AF，DAF=EDC，2=F，在ADF中，F+DAF=1+EDC，1=F，1=2；（2）在AED和ACF中，1=F，E=C，AD=AF，AEDACF（AAS），ED=CF，CF=BC+BF=BC+DB，ED=BC+BD7如图1，已知CF是ABC的
11、外角ACE的角平分线，D为CF上一点，且DADB（1）求证：ACBADB；（2）求证：AC+BC2BD；【解答】（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，CF是ABC的外角ACE的角平分线，DMDN，在RtDAM和RtDBN中，DA=DB，DM=DN，RtDAMRtDBN（HL），DAMDBN，ACBADB；（2）由（1）知DMDN，在RtDMC和RtDNC中，DC=DC，DM=DN，RtDMCRtDNC（HL），CMCN，AC+BCAM+CM+BCAM+CN+BCAM+BN，又AMBN，AC+BC2BN，BNBD，AC+BC2BD8如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x
12、轴上，CD平分ACB，与y轴交于D点，CAO=90BDO（1）求证：AC=BC（2）如图2，点C的坐标为（4,0），点E为AC上一点，且DEA=DBO，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DFAC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足GDH=GDO+FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明【解答】（1）CAO=90-BDO，CAO=CBD在ACD和BCD中，ACD=BCD，CAO=CBD，CD=CD，ACDBCD（AAS）AC=BC（2）由（1）知CAD=DEA=DBO，BD=AD=D
13、E，如图，过D作DNAC于N点， ACD=BCD，DO=DN，在RtBDO和RtEDN中，BD=DE，DO=DN，RtBDORtEDN（HL），BO=EN在DOC和DNC中，DOC=DNC=90，OCD=NCD，DC=DC，DOCDNC（AAS），OC=NC；BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8（3）GH=FH+OG，理由如下：由（1）知：DF=DO，如图，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM， 在DFH和DOM中，DF=DO，DFH=DOM=90，OM=FH，DFHDOM（SAS）DH=DM，1=ODMGDH=1+2=ODM+2=GDM在HDG和MDG中，DH=DM，GDH=GDM，DG=DG，HDGMDG（SAS）MG=GH，GH=OM+OG=FH+OG
