精品文档函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题一般地，对于二次函数 f ( x) ax2 bx c(a 0, x R) , 有1） f (x)0 对 xa0R 恒成立;02） f (x)0 对 xa0R 恒成立.0例 1：若不等式 (m 1)x 2(m 1)x 20 的解集是 R，求 m的范围例 2 设函数 f(x)＝ mx2-mx-1 ．(1)若对于一切实数x， f(x) ＜ 0 恒成立，求 m的取值范围；(2)对于 x∈ [1,3]，f(x) ＜－ m＋ 5 恒成立，求 m的取值范围二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） f ( x)a 恒成立af (x) min2） f ( x)a 恒成立af ( x) max例 1、若 x 2,2 时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求 a 的取值范围。
例 2 ． 设 f ( x)x22mx 2 ，当 x [ 1,) 时， f (x)m 恒成立，求实数m 的取1欢迎下载精品文档值范围2巩固． 已知函数 f (x) x 2x a , x [1, ) ，若对任意 x [1, ) ， f (x) 0恒成 x立，求实数 a 的取值范围练习 1 ：若不等式 x 2 2 mx 2 m 1 0 对满足 x [0,1 ]的所有实数 x 都成立，求 m的取值范围练习 2 已知 f ( x) x2 ax 3 a ，若 x [ 2,2], f (x) 2 恒成立，求 a 的取值范围 .三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端， 从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强一般地有：1）2）f ( x)g( a)( a为参数）g (a)f (x)恒成立f ( x)g( a)( a为参数）恒成立g (a)f ( x)maxmax例 3．已知 x ,1 时，不等式 1 2x a a2 4x 0 恒成立，求 a 的取值范围巩固 已知函数f( )4x2,x(0,4]时 f ( x)0 恒成立，求实数a的取值范x axx围。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化例 1．对任意 a[ 1,1] ，不等式 x 2(a 4) x 4 2a0 恒成立，求 x 的取值范围2欢迎下载精品文档2. 若不等式 2x 1 m x2 1 对满足 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） f (x) g( x)2） f (x) g( x)函数 f (x) 图象恒在函数 g( x)函数 f ( x) 图象恒在函数 g( x)图象上方；图象下上方例 . 设 f (x)x24x,g( x)4 x 1 a ,若恒有 f ( x) g( x) 成立 , 求实数 a3的取值范围 .例 2 已知函数 f (x)| x24x5 | ，若在区间 [ 1,5]上，y kx 3k 的图象位于函数 f ( x)的上方，求 k 的取值范围 .练习 已知函数 f (x) | x2 4x 5| ，若在区间 [ 1,5] 上， y k( x 3)2 的图象位于函数f ( x) 的上方，求 k 的取值范围由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。
利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的综合练习 ;例 6已 知f ( x) 是 定义 在 [-1,1]上 的奇 函数 , 且 f (1)=1, 若m, n[ 1,1], m n0时 f (m) f (n)0 ， 若f (x) t 22at 1 对 于 所 有 的m nx [ 1,1], a [ 1,1] 恒成立，求实数 t 的取值范围 .3欢迎下载精品文档课后作业 :若不等式 | x 1| | x 2 |⋯a 对任意 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 ．已知函数 f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)(1) 若 f(x) 在 [m,n] 上的值域是 [m,n], 求 a 的取值范围 , 并求相应的 m,n 的值(2) 若 f(x) ≤ 2x 在 (0,+ 无穷大 ) 上恒成立 , 求 a 的取值范围4欢迎下载。