高中数学经典例题高中数学经典例题讲解 高中数学经典例题讲解 典型例题一 例1下列图形中，满足唯一性的是( )( A(过直线外一点作与该直线垂直的直线 B(过直线外一点与该直线平行的平面 C(过平面外一点与平面平行的直线 D(过一点作已知平面的垂线 分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键(要注意空间垂直并非一定相关( 解:A(过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条(事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面( B(过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行( C(过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面(所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条( AAD(过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条(假设空间点、平面，过点有两条,ACACACABABAB直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为,lAB,lAC,lAClAB，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，,,,,lA这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线,与已知直线垂直相矛盾( 故选D( 说明:有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明(在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个(它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到( 典型例题二 例2 已知下列命题: (1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影; (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行; (3)若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直; (4)若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直( 上述命题正确的是( )( A((1)、(2) B((2)、(3) C((3)、(4) D((2)、(4) 分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用(应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形( 解:(1)已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; - 1 - 高中数学经典例题讲解 (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行; (3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直; (4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性( 故选D( 说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直(如E、FGBC在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且ABCD,ABCDAABB111111，，求( EF,BBFC,EG，DFG111典型例题三 OABCDE例3 如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的ABCD,ABCDBB11111OE,中心，求证:平面( ACD1OE,分析:本题考查的是线面垂直的判定方法(根据线面垂直的判定方法，要证明平面OE，只要在平面内找两条相交直线与垂直( ACDACD11BD证明:连结、、，在?中， BDADBBD111E、ODB?分别是和的中点， BB1?( EO//BD1?面， BA,AADD1111?为在面内的射影( DADBAADD1111又?， AD,AD11?AD,DB( 11同理可证，BD,DC( 11AD:CD,DADDC,ACD又?，、面， 111111BD,ACD?平面( 11BD//EO?， 1EO,ACD?平面( 1- 2 - 高中数学经典例题讲解 AE、CEAE,CE另证:连结，，设正方体的棱长为，易证( DODBa11AO,OC又?， OE,AC?( 在正方体中易求出: DB12,,26222,,， DO,DD，DO,a，a,a11,,22,,22,,a23,,22,,， OE,BE，OB,，a,a,,,,222,,,,22a3,,22，，DE,DB，BE,2a，,a( ,,111122,,222?， DO，OE,DE11?( DO,OE1AC,?，、平面， DO:AC,ODOACD111OE,?平面( ACD1说明:要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法(在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用( 典型例题四 ,ABCSA,ABCSBSCA，B,90例4 如图，在?中，，平面，点在和上的射影分M、NMN,SC别为，求证:( 分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思SC,MNSC,AMNSC,ANAN,想(欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平SBCAN,SBAN,BC面，而已知，所以只要证即可(由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直( SA,ABCBC,ABC证明:?面，平面， SA,BC?( ,BA:SA,AAB,BC，B,90?，即，， BC,SAB?平面( - 3 - 高中数学经典例题讲解 AN,SAB?平面( BC,AN?( SB:BC,BAN,SB又?，， AN,SBC?平面( SC,SBC?平面， AN,SC?， AM:AN,AAM,SC又?，， SC,AMN?平面( MN,AMN?平面( SC,MN?( AN,SBC另证:由上面可证平面( MNSBC?为在平面内的射影( AMAM,SC?， MN,SC?( 说明:在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直(立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现SA,OOCO的(本题若改为下题，想想如何证:已知AB?所在平面，为?的直径，为?CA、BSBSBSCM、NA上任意一点(与不重合)(过点作的垂面交、于点，求证:AN,SC( 典型例题五 BCABBAHH例5 如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内,,,，ABH,,，HBC,,的直线，，，，求证:( ，ABC,,cos,,cos,,cos,分析:本题考查的是线面角的定义和计算(要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理( BCHHDDAD证明:过点作垂直于点，连( AH,,?， ADHD?在平面,内射影为( BC,HDBC,,?，， BC,AD?( BHRt,ABHcos,在?中有: ? BABDRt,BHDcos,在?中有: ? BHBDRtABDcos,,在?中有: ? BAcos,,cos,,cos,由?、?、?可得:( - 4 - 高中数学经典例题讲解 说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的,一切角中最小的角(若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的,,，，范围为( ，,,,2，，典型例题六 ABCDCG,ABCDCG,2E、F例6 如图，已知正方形边长为4，平面，，分别是AB、ADGEFB中点，求点到平面的距离( 分析:此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力(本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化GEFB为求另一点到该平面的距离(为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等( BD、ACAC证明:连结EFBD，和分别交于H、OGHOK,GHK，连，作于( ABCDE、FAB、AD为正方形，分别为的中?点， EF//BDAOH?，为中点( BD//EFBD,GFE?，平面， BD//GFE?平面( GFEOEFGBD?与平面的距离就是点到平面的距离( BD,ACEF,AC?，?( GC,ABCDGC,EF?面，?( GC:AC,C?， GCHEF,?平面( OK,GCH?平面， EF,OK?( GH:EF,HOK,GH又?，， OK,GEF?平面( OKGEFB即长就是点到平面的距离( CG,2?正方形边长为4，， AC,42HO,2HC,32?，，( 22RtHCGHG,HC，CG,22在?中，( HO,GC211RtGCHOK,,在?中，( HG11说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法(由该点向平面引垂线，直接计算CBFE垂线段的长(用此法的关键在于准确找到垂足位置(如本题可用下列证法:延长交的- 5 - 高中数学经典例题讲解 GMBN//CGMGNPN延长线于，连结，作于，作交于，连结，再作PMBP,MEBH,PNGFEEFG于，可得平面，长即为点到平面的距离(二是转移BHBH,BH法(将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离(三是体积法(已知棱锥的体积和底面的面积(求顶点到底面的距离，可逆用体积公式( 典型例题七 ,ABCSSA,SB,SC例7 如图所示，直角所在平面外一点，且( SACSDABC(1)求证:点与斜边中点的连线,面; DBA,BCSAC(2)若直角边，求证:,面( BD分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直( ,SACACSD,ACD证明:(1)在等腰中，为中点，?( SEABEDE取中点，连、( ED//BCBC,ABDE,AB?，，?( SE,ABSEDAB,SDAB,又，?面，?( SDABCACABC,AB?面(、是面内两相交直线)( BA,BCBD,AC(2)?，?( SDABCSD,BD,又?面，?( SD:AC,DSACBD,?，?面( 说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直(寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等( 典型例题八 例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面( a//ba,,b,, 已知:，(求证:( b,分析:由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与垂直即可( ,mn证明:如图所示，在平面内作两条相交直线、( a,,a,ma,n?，?，( - 6 - 高中数学经典例题讲解 b//ab,mb,n又?，从而有，( 由作图知、为内两条相交直线( mn,b,,?( 说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直( 典型例题九 :AB,,例9 如图所示，已知平面平面=EF，A为、外一点，于B，,,,,CCD,,于，于(证明:( DBD,EFAC,,CABCDABD,BD,EFEF分析:先证、、、四点共面，再证明平面，从而得到( AB,,CD,,AB//CD，，?( 证明:?CABD?、、、四点共面( AB,,AC,EFAB,EF?，。