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1、学科：数学教学内容：双曲线【学习目标】1理解掌握双曲线的定义、标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程掌握双曲线的几何性质了解双曲线的一些实际应用2会用待定系数法求双曲线的标准方程，培养运算能力【高考试题剖析】1双曲线1(a0，b0)，过焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则ABF2的周长为（）A4a B4amC4a2m D4a2m【解析】利用双曲线的第一定义【答案】C2如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是（）A10 BC2D【解析】利用双曲线的第二定义【答案】D3若双曲线的渐近线方程为yx，则其离心率为（）ABCD【解析】分类讨论【答案】D4已知双曲
2、线x24y24及点M(8，1)，过点M的直线与双曲线相交于A、B两点，M为线段AB的中点，则直线的方程是_【解析】设A(x1，y1)、B(x2，y2)则x124y124，x224y224，两式相减 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，16(x1x2)42(y1y2)0，kAB2，故AB方程为：2xy150【答案】2xy1505求与圆A：(x5)2y249和圆B：(x5)2y21都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_【解析】由双曲线定义【答案】1(x0)【典型例题精讲】例1根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点
3、(3，2)【解】(1)设所求双曲线方程为(0)将点(3，2)代入得，所以双曲线方程为(2)设双曲线方程为1，将点(3，2)代入得k4，所以双曲线方程为1例2在双曲线1的一支上有不同的三点A(x1，y1)，B(x2，6)，C(x3，y3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列(1)求y1y3；(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标(1)【解】由题设知，A、B、C在双曲线的上支，故AFey1，BF6e，CFey3AF、BF、CF成等差数列6e，即y1y312(2)【证明】A、C在双曲线上，11，两式相减得于是AC的垂直平分线的方程为y6即0又是实数x0，且y所以直线经过定点(0，
4、)例3一炮弹在某处爆炸，在F1(5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程【解】由声速为340米/秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为3406000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上设爆炸点P的坐标为(x，y)， 则PF1PF26000，即2a6000，a3000而c5000，b2500023000240002，PF1PF260000，x0，所求双曲线方程为1(x0)例4已知双曲线的两个焦点的坐标
5、为F1(，)，F2(，)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于2，求双曲线的方程【解】设P点的坐标为(x，y)，PF1PF2，PF1PF22，2，将这个方程移项后，两边平方，得(x)2(y)284(x)2(y)2，xy，两边再平方，得x2y222xy2x2yx22x2y22y2，整理得：xy1为所求双曲的方程【注】 此例证明了函数y的图象是双曲线一般地可证明反比例函数的图象是双曲线例5在双曲线1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍【解】设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点双曲线的准线方程为xPF12PF2 P在双曲线的右支上x 把x代入方程1
6、得y所以，P点的坐标为()【注】 对于双曲线1(a0，b0)上的点P(x0，y0)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点一般地可以得到PF1aex0，PF2aex0它们都称作双曲线的焦半径公式【达标训练】1(2003年高考 新课程)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A1 B1C1 D1【解析】直接计算法因为F(，0)，所以可设方程为1，把yx1代入得1(7a2)x2a2(x1)2a2(7a2)0(72a2)x22a2x8a2a40a22，从而方程为1【答案】D2若1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范
7、围是（）A(1，) B(0，1)C(1，2) D与k有关，无法确定【答案】A3(2003年高考上海)给出问题：F1、F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|8，即|9|PF2|8，得|PF2|1或17该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确结果填在下面空格内_【解析】由1，得a4，c6ac109P与F1在y轴的同侧|PF2|PF1|2a，|PF2|17【答案】|PF2|174过点A(0，2)可以作_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点【解析】数形结合
8、，两切线、两交线【答案】45双曲线kx2y21，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程【解】由题意k0，c，渐近线方程l为yx准线方程为x，于是A()，直线FA的方程为 y，于是B(，)由B是AC中点，则xc2xBxA，yc2yByA将xc，yc代入方程kx2y21，得k2c410kc2250解得 k(1)5，则k4，所以双曲线方程为4x2y216已知l1，l2是过点p(，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x21各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2，(1)求l1的斜率k1的取值范围；(2
9、)若A1B1A2B2，求l1，l2的方程【解】显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交设l1的斜率为k1，则l1方程为yk1(x)联立消去y得(k121)x22k12x2k1210根据题意得：k121010，即有12k1240完全类似地有：1020，即有1240从而k1(，)(，)且k11又由弦长公式得A1B1完全类似地有：A2B2A1B1A2B2k1，k2从而l1：y(x)，l2：y(x)或l1：y(x)，l2：y【解题指导】1渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念渐近线方程为yx的双曲线方程可设为(0)，与双曲线1，有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)2椭圆中a、b、c的关系与
10、双曲线中a、b、c的关系是不同的，应注意区分运用【拓展练习】一、备选题1求与圆x2y24及圆x2y212x640相切的动圆圆心的轨迹方程【解】圆x2y24的圆心O(0，0)，r12；圆x2y212x640的圆心C(6，0)，r210设动圆圆心P(x，y)，半径为r当动圆P与O外切且与C内切时，POr2，PC10r，POPC12表示P在以O，C为焦点的椭圆上，且2a12，2c6，b227，中心为(3，0)P点的轨迹方程为1；当动圆P与O及C均内切时，POr2，PC10rPOPC8表明P在以O，C为焦点的椭圆上，2a8，2c6，b2a2c27，中心(3，0)P点轨迹方程是12在双曲线1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为32，并求M点到两准线的距离【解】设M(x1，y1)，左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得MF1ex1a，MF2ex1a由已知2(ex1a)3(ex1a)把e，a4代入得x116，y13所以M(16，3)，双曲线准线方程为x，M(16，3)到准线的距离为12或19二、思维诊断双曲线的右准线为x4，右焦点F(10，0)，离心率为2，求双曲线的方程【错解】因右焦点F(10，0)，C10，又e2，2，a5，b2c2a21002575，故所求双曲线的方程1【简析】双曲线的中心不在原点【正解】由双曲线的定义知：2【化简】1为所求双曲线的方程.
