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1、第一节乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分 解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：（从项的角度变-、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式,(a be)2a 2 b2 c2 2ab化）那三数和的平方公式呢？#（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如2bc 2ac(a b) 3 ?，能用学过的公式 推导吗？（平方立方）QQQQ03（a b） （a b） （a b）a 3a b 3ab b那（a b l3 ?呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从式看出结果？将（a b） 3中的b换成一b即可。（b R
2、 ） 这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换（a b）3 a3 3a 2 b 3ab 2 b 3符号的记忆，和差 从代换的角X度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ *a3 b32（33 a b ab 立方差呢？中的b代换成一b得出：由可知,a32( )(a b a ab32b 二(a b)(a * ab )2)b2符号的记忆，系数的区别例 1 :化简(x 1)( x 1)( x2 x 1)( x 2 x 1)法1:平方差立方差#1a +若二次项的系数不为1 呢？ 2(0)，如:ax bx c a22x 7 x 3法2:立方和立方差(2)已知 x2x 1 0,求证：(x 1)3(
3、x 1) 38 6x注意观察结构特征，及整体的把握二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。 初中学过的方法有：提取公因式法，公式法(平方差、完全平方、立方和、立方 差等)(1)十字相乘法试分解因式：x 2 3x 2( x 1)( x 2)要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，2 2x + px + q = x +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示:1(交叉相乘后相加)如何处理二次项的系数？类似分解：13-6
4、 +2x27 x 3 (x 3)(2x1)整理：对于二次三项式ax2+bx+c (a工0)，如果一次项系数 a可以分解成两个因数之积，即a=aia2,常数项c可以分解成两个因数之积，即C=CiC2, 把ai, a2,C1 , C2排列如下:ai+c+c按斜线交叉相乘，再相加，得到 的一次项系数 b，即aiC2 +a2Ci=b，i 2a c +a c，若它正好等于二次三项式 那么二次三项式就可以分解为两个因式2ax +bx+C aix+Ci与a2x+C2之积，即（a x+c ）。按行写分解后的因式2 2ax2+bx+C=(aix+ci )十字相乘法关键：（i ）看两端，凑中间;系数为负时，如何简
5、化2）分解后的因式如何写（3）二次项例2 :因式分解:i)6275()2 5x 6xy 8 y()3( x y)( 2x 2 y 3) 2（2）分组分解法dp Ai-.分解xm xn ym yn，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法两种方法适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，叫分组分解法如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式练习：因式分解（i ） x39 3x 2 3x2 x 4( xy i) 4 y（3） x3 3x 4 （试根法，竖式相除）归纳: 如何选择适当的方法作业：将下列各式分解因式(1)2 X
6、5x2-6 ；( 2) x _5x -6 ；（ 3）2x 5x26 ；( 4) x 5x 6(5)3x22axa ；()332 2x y xy ；（）2a22 bab 2ab6 x y7(8)6 a64 ；(9)x2 ( a 1)x a第二节 二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题难点：给定区间的最值问题教学过程：韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程ax2 bx c 0（ a 0）什么时候有根（判别式0时），此时由求根公式得,4acX b b2，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方Mr Mi, Jb2a程，直接从方程中看出两根和（积
7、）与系数的关系吗,一Amb b24acbb 24acbxiX22a2aabb24ac bb24ac cxi X22a2aa反过来，若Xi ,X2满足X1X2b,X1 X2那么Xi , X2 一定是ax2bx c 0(a0)的两根，即韦达定理的逆定理也成立 作用：(1 )已知方程，得出根与系数的关系(2 )已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程(系数为1):X 2( X1 X2 ) X X1X20= n 曰例1 : X1 , X2是方程2X 2 3X 5 0的两根，不解方程，求下列代数式的值;X122X2 | X1 X2 |X13X2二、二次函数的三种形式曰 2 a亠尹(1) 一般式：y ax
8、 bX c( a 0)顶点式：y a( X h) 2 k(a 0)，其中顶点坐标为(h，k)(3)练：求下列函数的最值。(1) y x 2_4x 5( 2) y _3x 2 6x送2y 2x 3x 4除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与X轴的交点，得出另一种表示方法;函数yax2 bx c( a 0)的图像与x轴公共点的横坐标就是方程ax bx c 0 的根，那它根的情况由谁决定 pokb知 X1x2, X1 X2a所以yax2 bx，(判别式)，当方程有两根X1 , X2时，由韦达定理可ca/ 2 c a( xc)a xa(X1 X2 )x X 1 X2 a( X X 1 )( XX
9、2 )，这是二次函数的交点式。(3 )交点式：y a( xX1 )( X X2 )(a0)根据题目所给条件，适当选择三种形式例2 :分别求下列一元二次函数的解析式。（P43 44）（1） 已知二次函数的图象过点（一3, 0）,（ 1, 0），且顶点到x轴的距离等于2;（2）已知二次函数的对称轴为 x = 1，最大值为15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的立方和为17 ;三、二次函数在给定范围内的最值问题例3、已知函数y x 2 2x 3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值:(4) 0x3(1) x 2 ；(2) x 2；(3
10、) 2 x 1；动范围问题（选讲）例4、已知1 x a（ a为大于一1的常数），求函数y x 2的最大值M和最小值m（P50） 数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位）作业：1、已知某二次函数的图象的顶点为 A （2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式如图，用长为 18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。（1 ）设矩形的一边为x（ m），面积为y （ m 更比性质ac adb d比例式有多种变形形式：内项和外卜项可以相应的交换位置（注意是对应位置, ），求y关于x的函数关系式，并 写出
11、自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少第三节比例关系，性质及其应用教学过程:4个非零数a， b，c，d成比例，即a : b比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，特别的当比例内项相等时，即a : b b : c，c : d，也可与成c，其中a， d叫做b db，c的第四比例项。ab ），此时b叫做ac的比例中项。c(或b亠、比例的性质1、基本性质cad bc(bd0)，比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积。a特别地，bb2ac(bc0)当abcd 0时,bc3、合比性质*dBi* * ibi匸_-c d橹 *，n stac a b（证明：两边+1） qbd
12、bd4、等比性质ma c(b dn 0)a cm ab dnb dn b即交叉相乘相等出现的式子是一样的）（证明：用中间k过渡，这种设 來啲方法在解决比例问题中很常用）a b 3例1 :已知，求证：二 b * 8a c 4（2）已知 （b d o），求证:a11MB.b 8b da c b da(3)已知_二c二豆二3,b*d f 4,求 辛ce的值。 b d f（比例性质的灵活使用乙比例性质的应用（一）平行线等分线段定理1、由特殊：“三条平行线被两条直线所截”情况入手，猜想：观察（平行非平行）、不管I与I是否平行，只要 A1A2A2 A3,就有B1B2 B2 B3。IIA1B1 C1I1A2
13、C2B2I2A3C3B3I3IIA1B1 I1A2 B2I2A3B3I3证明：（1）先证I / I时，（特殊位置）2）再证I不平行I时，（引导如何思考:将一般位置化归为特殊位置处理：辅助线作法两种（上图）给学生指出：在研究问题中将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题：这是解决数学问题不可缺少的思想方法-化归思想 从运动的角度看，将I平移，使得I与li相交于Ai，得出 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边;例2:已知三角形ABC中，AD是角平行线，求证：BDABDC AC析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。练习：已知在ABC 中，AD 是角平分线， AB = 5cm，AC = 4cm， BC = 7cm，则 BD=cm.:A
