《新编数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 167;3 3.1 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 167;3 3.1 Word版含答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新编数学北师大版精品资料3双曲线31双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线梳理(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2
2、|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合为空集(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支(4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段F1F2的中垂线知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中，b2c2a2，即c2a2b2，其
3、中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上1平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()2平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距
4、离之差等于6的点的轨迹是双曲线()3平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()类型一双曲线定义的应用例1(1)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案B解析由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.(2)设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B8C24D48考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答
5、案C解析由题意，得解得又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，则|PF1|PF2|24.反思与感悟焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0)跟踪训练1在ABC中，已知|AB|4，A(2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sinBsinAsinC，求顶点C的轨迹方程考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用解由sin Bsin Asin C及正弦定理，可得ba，从而有|CA|CB|AB|2|AB|，由双曲线
6、的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支a，c2，b2c2a26，顶点C的轨迹方程为1(x)类型二求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，4)，.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得双曲线的标准方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐
7、标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2ka2)(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程跟踪训练2(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程，得1
8、.又a2b29，解得a25，b24，所以双曲线的标准方程为1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.类型三双曲线定义及标准方程的应用例3在相距2000m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程考点双曲线的标准方程的求法题点定义法求双曲线的标准方程解设爆炸点为P，由已知可得|PA|PB|33041 3200.因为|
9、AB|2 0001 320，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点由2a1 320,2c2 000，得a660，c1 000，b2c2a2564 400.因此，点P所在曲线的方程是1(x660)反思与感悟可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程跟踪训练3已知椭圆1与双曲线1有交点P，且有公共的焦点，且F1PF22，求证：tan.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数证明如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF
10、1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos21，1cos2，sin.则在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，cos21，1cos2，cos，tan.1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A1m1Cm3Dm0，即m1.2已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案D解析F1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线3过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是()A.y21B.x21Cx21D.y21或x21考点双曲线
11、的标准方程题点待定系数法求双曲线的标准方程答案D解析，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，将点(1,1)代入方程中，得a2.此时双曲线方程为y21.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x21.4经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线标准方程答案1解析设双曲线的方程为mx2ny21(n0，m0)，则解得故双曲线的标准方程为1.5椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值为_考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案1解析由题意知解得a1.1双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支
12、设F1，F2表示双曲线的左、右焦点：若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.2求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案A解析当k5时，方程表
