数列极限的几种计算方

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1、数学与统计学院2015届毕业论文数列极限的几种计算方法数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线,它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是从有限认识无限,从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二 计算方法1 定义法设为数列，为任一常数，若对任给的,总存在,使得当时,有,则称数列收敛于,或称数列以为极限. 注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值的相关证明，对于

2、如何用数列极限定义证明数列极限问题，常用的基本方法有:适当放大法，条件放大法.例题1 用定义法证明数列极限分析 由于 （1）因此，对任给的只要便有即当左边的式子成立.又由于（1）式是在的条件下成立的，故应取 证明 任给取根据分析，当时有 成立.于是此题得证.2 利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限与均存在，则 注2 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能推广到无限个数列或不定个数的数列上去.例题2 求极限 分析 由于，所以有，.于是给分子分母同时除以，再利用数列极限四则运算法计算即可.解 .3 利用数列的一些特征计算数列极限注3 此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算

3、出数列极限.方法只适用于一些特殊的数列，不具有一般性.例题3 计算极限分析 观察数列，可以看出数列极限为，通项，由，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限.解 4 利用夹逼准则计算数列极限设均存在，且，若数列满足，则有注4 利用夹逼准则求极限的关键是:将原数列适当地放大和缩小， 使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值.例题4 计算数列极限分析 括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关键是找到极限值相等的数列与，进而可以用夹逼准则来计算数列极限.解 5 利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a)如果

4、数列单调增加且有上界，即存在数M,使得那么存在且不大于M.(b)如果数列单调递减且下界，即存在数m,使得那么存在且不小于m.注5 递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5 计算数列极限分析 (1)通过观察可以看出即数列单调增加；（2）即数列有上界.所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设，然后计算出常数即为数列极限.解 由单调有界准则知，数列极限存在，设所以给等式两边取极限得 例题6 设，证明数列，收敛，且有相同的极限.分析 因数列与数列之间

5、有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等.解 且有，.所以 数列单调递减有下界，数列单调增加有上界；由单调有界准则知 两个数列的极限均存在.设于是有 求出即两个数列有相等的极限.6 利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限：例题7 求极限解 由上面的性质可知此题的极限属于型所以7 利用数列与子列的关系计算数列极限定理 若数列收敛于，则它的任何子列也收敛于,即 注6 此定理经常被用来判断一个数列的发散,即若数列有两个子列极限 不相等,则数列必定发散. 例题8 证明数列发散.证明 取则子列收敛于0，而子列收敛于1，所以 由上面定理及

6、注意的可知数列发散.8 利用柯西收敛原理计算数列极限定义 数列,若对任意给的,存在,使得当时,成立,则称数列是一个基本数列.柯西收敛原理 数列收敛的充分必要条件是：数列是基本数列.例题9 证明数列收敛 .证明 对,当时,有所以,取，则由数列收敛的柯西准则知，数列是收敛的.9 利用压缩性条件计算数列极限定理 数列满足条件：则数列收敛.例题10 已知数列，证明数列极限存在,并求此极限.解 由假设知且易证,于是即数列满足压缩性条件，所以数列极限存在.假设极限为，即，则由递推公式得 ，解之，得到或(舍去)，所以.10 利用两个重要极限计算数列极限(a) (b) 注7 使用此种方法，关键是将数列经过变形

7、化成必要的形式,而且此种方法使用的很普遍,特别是第二个极限要着重掌握并灵活运用.例题11 求极限分析 由于原式中出现，立刻想到用重要极限，但是首先要对原式进行变形，得到我们需要的形式，再进行求解.解 因为 利用重要极限得原式=0.例题8 求极限分析 利用重要极限，关键是要极限符合型.解 =11 应用函数极限与数列极限关系求极限 函数极限与数列极限关系是:若，则.例题9 求数列极限分析 这是数列极限，利用函数极限与数列极限的关系，要先得找到数列所对应的函数，再求函数极限，进而得到数列极限.解 数列极限对应的函数极限为,对,用公式得 而 于是12 利用等价无穷小替换法求极限注8 应用这个关系可以用

8、求函数极限的方法求某些函数的极限， 其关键是找相应的函数. 常见的一些等价无穷小量：当时，定理 设函数在上有定义，且有 (1) 若则(2) 若则例题10 求极限 分析 先将数列极限转换成函数极限，然后再利用上面的等价变换求解.解 令原极限中的，则数列极限所对应的函数极限为于是=,进而特别的 在利用等价无穷小量代换求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.例题11 求极限 分析 对这道题，如果用当时，则会得到错误的结果0.解 事实上当时，所以 13 利用定积分定义求数列极限应用定积分定义求数列的极限就是把数列的通项看作是某个

9、连续函数在某个区间上的积分和， 然后通过计算定积分的值来求解数列的极限.关键是利用例题12 设求极限分析 可将数列化为，于是利用定积分定义，在区间中加入个分点，将区间分割成等分，令且，其中区间长度；然后数列求极限就是黎曼和求极限，而黎曼和求极限就是用到定积分定义，所以可将极限转换成定积分进行计算.解 令，由分析可得14 利用泰勒展式求解数列极限下面是一些常用函数的泰勒展式：其中，上面的是泰勒余项,且例题13 求分析 这是的极限，可以用洛必达法则计算，但是计算量非常大；用泰勒展式可以大大减小计算量，不易出错，计算方便.解 利用泰勒公式 15 利用级数理论和级数收敛的必要条件求数列极限级数收敛的必

10、要条件: 若级数收敛，则应用这个结论求某些数列的极限方法是把给定的数列通项看作是某个级数的通项， 然后用级数的敛散性判别法， 判定该级数收敛， 此时数列的极限必为零.级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个数列，有时为求方便可将数列极限看做某个级数的部分和，这样可以使得计算更加简捷，更高效的得出结果.例题14 求分析 我们知道形如的数列极限值是欧拉常数,有（c是欧拉常数）.所以此题可以利用这一结论进行计算. 解 =由分析可知上式=16 用Stolz定理求解数列极限Stolz定理：设数列与数列，数列是单调增加的正无穷大量，且（可以是有限量，与），则 证明 首先考虑=0的情况.由,可知：由于数

11、列是正无穷大量，显然 可以要求,于是,因为 固定,又可以取到从而 当是非零有限数时,令于是从而由得到 对于的情况，首先于是也单调增加，且从可知是正无穷大量.将前面的结论应用到,得到因而 对于的情况，证明方法和上面的类同.例题15 设求极限解 令，由于是得到 例题16 求极限 （为自然数）.解 令,由 =得到 例题17 利用Stolz定理，证明证明 令,由 = =.特别地，（1）在Stolz 定理中,若,不能得出的结论.如取,但是，即极限不存在.（2）在Stolz定理中,若不存在，不能得出不存在的结论.如取,不存在，但是,即17 利用Stiring公式求极限Stiring公式：.例题18 计算解

12、 于是其中为欧拉常数.18 利用无穷小量与无穷大量的关系求解极限（1）若，则（2）若且，则例题19 求下列极限（1） （2）解 （1）由，故.（2）由，故.19 变量替换法求解极限例题20 求极限 分析 当时，分子分母都趋于，不能直接用法则，但是可注意到，所以作变量替换可以求解.解 令，则 原式=.20 利用拉格朗日中值定理求解极限定理 若函数满足下面条件：（1）函数在闭区间上连续；（2）函数在开区间内可导；则 在内至少存在一点，使得.上式可变形为： 例题21 求解极限解 令，应用拉格朗日中值定理即 因为连续，所以.从而有21 利用公式法求解数列极限已知极限：(1); (2); (3);(4)

13、; (5); (6);(7) ; (8) (欧拉常数)；(9) 若,则；(10) 若,则；(11) 若,则.三 结束语本文讨论了几种求数列极限的方法 , 注意发现和利用数列的特性 ,选择适当的方法,有时还要运用一些技巧 ，进行数列极限的求解。同时，在学习数列极限的理论时 ,只有不断总结 , 不断完善知识理论和结构 , 才能在解题思路中有所发现 , 有所创新 . 本文列举的十二种求数列极限的方法是有限的 , 还有更多更好的解题方法和思路 , 需要我们进一步去总结 .参考文献1 数学分析（上册）,第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.72 数学分析（下册），第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.73陈纪修 於崇华 金路.数学分析（上册）. 北京 ：高等教育出版社，1999.4陈纪修 於崇华 金路.数学分析（下册）. 北京 ：高等教育出版社，1999.5张天德 孙书荣 数学分析辅导及习题精解（华东师大第四版 上册）.延吉：延边大学出版社，2011.76 李素峰.求数列极限的几种方法.邢台学院学报J,2007 年02期第92-93页.7 塔怀锁,数列极限的几种特殊求解方法.北京工业职业技术学院学报J,2011年02期第10卷第73-74页.8 葛喜芳，数列极限的几种计算方法.北京工业职业