《数列专题一 求数列的通项公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列专题一 求数列的通项公式（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列专题一求数列的通项公式数列这一知识点在高中数学中占有非常重要的地位，是高考的必考内容，有 大题和小题两种题型，涉及数列求和，求通项，等差等比数列的判定与证明，等 差等比数列的性质，数列性质的探究等方面的知识。本文通过典型例题分析如何 求一些常见数列的通项公式（或项），期望能够帮助备考的高三党。一、找规律看通项公式（一）数的排列规律【例1】数列0,3,8,15,24,的一个通项公式a =。n【答案】n2-1【例2】数列7,77,777,7777的一个通项公式是。7【答案】a = -（10n -1）n 9（二）图形的排列规律【例3】下图中的三个正方形中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项
2、， 请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式。【例4】蜂蜜被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看做是 个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个六边形，第二个图有7个六边形，第三个图有19个六边形，按此规律，以f （n）表示第n幅图的六边形总数,则f（4）=；f (n)=【谷案】37;3n2-3n +1【解析】当 n 2 时，有 f (n) - f (n -1) = 6(n -1)，所以 f (n) = f (n) - f (n -1)+ f (n -1)- f (n - 2)+.+ f (2) - f (1)+ f (1) =6 (n -1) + (n - 2)
3、+ . + 2 +1 +1 = 3n2 3n +1.又 f (1) = 3x 12 -3x 1 +1 = 1，所以 f (n) = 3n2 -3n +1.【方法说明】通过规律探究通项公式重在寻找规律，我们不仅要寻找项与n的关系，更要寻找连续两项甚至三项的规律。二、递推关系求通项公式(一)累加法n+1【例5】在数列 中，a =1，且a =七+3n，则数列aj的通项公式 气= 【答案】号(二)累乘法【例6】若数列a 满足(n- 1)an=(n + 1)a，n-1且 a = 1，_则 a =【答案】5050a1 = 1，【解析】(n - 1)a = (n + 1)a，nn-1an-1所以n n -1
4、 4 3 . I ，n - 2 n - 3 2 1 ， n-1 n 一 221即 a. 土三+ =咛1)，所以 a1oo = 5050【变式训练】在数列a 中，a = 2,a = a + 2a + 3a + na ,n g N，则通项 n1n+1123n+【答案】a2, n = 1(n e N )n In!, n 2（三）构造等比数列【例7】在数列。中,a1 = 2,a = 3a 1 + 2(n 2,n e N*),则通项 a【答案】3n - 1【解析】由 a = 3a + 2,得 a +1 = 3 (a+ 1)(nZ 2). a = 2,. a +1 = 3 丰 0,n n-1n-1.数列
5、+1是以3为首项,3为公比的.等比数列, a + 1 = 3.3n-1 = 3n ,即 a = 3n 1【例8】已知数列a 满足a1 = 1，a2 = 4，a+ 2a = 3an+2nn+1eN*)，则 a【答案】3. 2n-1 -2【解析】由a+ 2a=3a 得 a - a = 2 (a - an+1n+2n-1),.数列。一 a 是以a a=3为首项，公比为2的等比数列,n+1n a a = 3 . 2n-1, n 2 时，a a = 3 2n-2，a - a = 3 - 2 , a - a = 3 ,n+1 nn n-13221nn-1累加得a -a1 = 3. 2n-2 + + 3-2
6、 + 3 = 3(2-1-1),=3 - 2n-i - 2 (当 n = 1 时,也满足).（四）分式形式的递推关系如何处理技巧一取倒数【例9】已知数列a 满足na =土 ，a = 1,则该数列的通项an 3. a +1 1nn-1【答案】a 3n - 2【解析】-=犯二1 （n 2）则-=3，且上=1a aa aa】n-1an-1.数列.,是以土为首项,以3为公差的等差数列,则卜+3（-1）， nnna =n3n 2解得G = 1 -技巧二不动点【例10】已知数列a 满足a = 2,a = =2(n 2)，则求a . n 5【答案】1; 121【解析】 方法一：由Ja1顼2 = 4, a =
7、 2a +1，21 n 2a + 1nn 1【解析】令x = W，解得x =1,x =-1，设= C -匚2 x +112a 1 +1 a +1由 a1 =2,得 a2=4 ,可得 c = -3数列U是以仁1=1为首项，-1为公比的等比数列， a +1Ja1 +1 331 ( 1 -13n (1)n一一 ， . a =3 3) n3n + (1)n技巧三有周期【例11】已知数列a 满足：a =1-上，且a = 2，则a =.nn a12019n+11【答案】1 2【方法说明】借助递推关系求通项公式是很常见的一种考查形式，方 法繁多，重在掌握哪种形式对应什么方法。三、由前n项和求通项公式【例12
8、】设数列a 的前n项和为s，若S = 4，a = 2S +1，n g N *，则a由 a 1 = S 1 S = 2S +1，得 S 1 = 3S +1，nn2n+1n1所以s + 1）是以3为首项，3为公比的等比数列，S +1 = 3X 3一 1，n 2 J2n 2 2即、广司，所以S5 = 121.方法二：由尸1 +七=4,解得ai = 1，a = 2a +1， a = 3,又 a = 2S +1，a = 2S +1，两式相减得 a - a = 2a ，即 r = 3，n+1nn+2n+1n+2 n+1n+1an+1所以aj是首项为1，公比为3的等比数列，an+1 = 3n，+ a = 2
9、n +12n n写出数列a 的n所以s 二三1，所以S5 = 121.【变式训练1】数列a 满足1 a + -1 a + -1 a + n2 122 223 3通项公式.【答案】6, n = 1a = 2【解析】因为2 a1 + * a21+ 2 a + a2n n所以上a + a + a +2 122 223 3.两式相减得上a= 2，2n+1 n+1.1+ a2n n1+a2n+1 n+1=2 (n +1)+1,即 a = 2n+1, n 2，所以an6, n = 12n+1, n 2【变式训练2】若数列a 满足a -a -a . a = n2 + 3n + 2，则数列a 的通项 n123 nn公式为6, n = 1【答案】 【方法说明】由前n项和求通项公式的主题思想是消元，消去Sn还是an?要结合题意看我们求什么，留什么；同时，使用该方法务必注意对n的讨论。关注更多高考数学精彩，微信关注“木木数语”
