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1、2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)理科一. 填空题(本大题满分48分) 本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格对得4分,否则一律得零分.1.已知集合A=1,3,2m1,集合B=3, m2,.若BA,则实数m= .2.已知圆x24x4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线xy1=0的距离是 .3.若函数f(x)=ax(a0,且a1)的反函数的图像过点(2,1),则a= .4.计算：= .5.若复数z同时满足z=2i, =iz(i为虚数单位),则z= .6.如果cos=,且是第四象限的角,那么cos(+)= .7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(2,0),且长轴长是短轴长的2
2、倍,则该椭圆的标准方程是 .8.在极坐标系中,O是极点.设点A(4,),B(5,),则ABC的面积是 .9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本.将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 (结果用分数表示)10.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .11.若曲线与直线y=kx+b没有公共点,则k、b分别应满足的条件是 .12.三个同学对问题“关于x的不等式在1,12上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思蛤.甲说：“只须不等
3、式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结记,即a的取值范围是 .二. 选择题(本大题满分16分)13.如图,在平面四边形ABCD中,下列结论中错误的是 ( ) (A) (B) (C) (D)14.若空间中有四个点,叮“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件15.若关于x的不等式(1+k2)xk4+4的解
4、集是M,则对任意实数k,总有 ( ) (A)2M, 0M (B) 2M, 0M (C) 2M, 0M (D) 2M, 0M16.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O.对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p0,q0,给出下列三个命题：若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个.茬pq=0,且p+q0, 则“距离坐标”为(p,q) 的点有且仅有2个.若pq0, 则“距离坐标”为(p,q) 的点有且仅有4个.上述命题中,正确命题的个数是 ( )(A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3三.解答题(本
5、大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)求函数y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域和最小正周期.18. (本题满分12分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形.DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO平面ABCD,
6、PB与平面ABCD所成角为60.(1)求在四棱锥P-ABCD的体积；(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,(1)求证：“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.21. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知有穷数列an共有2k项(整数k2),首项a1=2.设该数
7、列的前n项和为Sn,且an+1=(a1) Sn+2(n=1,2,2k1),其中常数a1.(1) 求证：数列an是等比数列；(2)若,数列bn满足bn=lg2(a1a2an)(n=1,2,2k),求数列bn的通项公式；(3)若(2)中的数列bn满足不等式4,求k的值.22. (本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分, 第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知函数y=x+有如下性质：如果常数a0,那么该函数在(0,)上是减函数, 在,+)上是增函数.(1)如果函数y=x+(x0)的值域为6,+),求b的值；(2)研究函数y=(常数c0)在定义域内的单调性,并说明理由；(3)对函数y
8、=x+和y=(常数a0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只需写出结论,不必证明),并求函数F(x)=+(n是正整数)在区间,2上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).上海数学(理工农医类)参考答案一、(第1题至笫12题)1. 1 2. 3. 4. 5. 1+i 6. 7. 8. 5 9. 10. 36 11. k=0,1b1 12. a10二、(第13题至笫16题)13. C 14. A 15. A 16. D三、(第17题至笫22题)17.解：y=cos(x+) cos(x)+sin2x =cos2x+sin2x=2sin(2x+) 函数y=cos(x+
9、) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是.18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.19.解：(1) 在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直
10、角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0),B(1,0,0),D(1,0,0)P(0,0, ).E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).设的夹角为,有cos=,=arccos,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角).在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是, 在等腰RtPOA中,PA=,则EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=.cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.20.证
11、明：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0.当y2=2x得ky22y6k=0,则y1y2=6.y=k(x3) 又x1=y, x2=y, =x1x2+y1y2=3. 综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=6.或y1y2=2,如果y1y2=6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).21.证明(1)当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. 解(2)由(1)得an=2a, a1a2an=2a=2a=a, bn=(n=1,2,2k).
