人教版 高中数学【选修 21】 ：第二章章末复习课

2019年编·人教版高中数学 章末复习课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想． 3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步． 4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据． 5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式． 6．分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性． 专题一　合情推理 　合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，但推理的结论不一定为真，有待进一步证明． [例1]　(1)(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－＝ 1－＋－＝＋ 1－＋－＋－＝＋＋ …… 据此规律，第n个等式可为_______________________________． (2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________． 解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负． 等式的右边共n项，且分母分别为n＋1，n＋2，…2n.分子均为1，因此猜想1－＋－＋……＋－＝＋＋…＋ (2)三角形边长四面体各面面积，三角形的面积四面体体积 因此R＝ 答案：(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. (2)R＝ 归纳升华 1．归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题． 2．类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． [变式训练]　(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________． (2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝ ，把上述结论类比到空间，写出类似的结论． (1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3. 答案：f(n)＝n3 (2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A­BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此四面体的外接球的半径为R＝ 专题二　演绎推理 　演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取． 演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． [例2]　已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R)． (1)若f(x)在[1，e]上是增函数，求a的取值范围． (2)若a＝1，1≤x≤e，证明：f(x)