第四章：力学量用算符表示P186 15.设与为厄米算符，则和也是厄米算符由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且证：ⅰ）为厄米算符ⅱ）也为厄米算符ⅲ）令，则，且定义 （1）由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符则由（1）式，不难解得 4.1证 (An是实数)是厄密算符 证明：此算符不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算： 满足厄密算符的定义4.2证明（实数）是厄密算符证明）方法同前题，假定已经证明,都是厄密算符，即：又按题意得证算符是一维的这证明不是厄密算符，但满足同理可证明将前二式相加除2，得因此是厄密算符，因此也是又假定用作为厄密算符的定义，并设则本题可用较简方式来证明如下：因为 所以有 同理有~91~ 相加除2，得：这证明右方一式是厄密算符 4.3 设是的可微函数，证明下述各式：[一维算符]（1）（证明）根据题给的对易式及（2）（证明）同前一论题（3） [证明]同前一题论据：（4） [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 （5） （证明）论据同（4）：（6） （证明）论据同（4）：4.4 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。
证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设 重复运算n-1次以后，得（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立现在计算有: 利用前述的假设但又按题目假设用于前一式得待证一式关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意将第一式对易式中两算符对易得再将文字A，B对易得4.5 证明 （证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得取A=q，B=p，注意[q，p]=ih代入前一式后，有4.6设是的整函数，证明整函数是指可以展开成证： （1）先证同理，现在，而 又 而 4.6设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明： ⑴ ⑵整函数是指，是数值系数[证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：先证第一式 ⑴最后一式曲括号内第一项为时为0，因为座标不同，时第二对易式任何情形是零，因而⑴改写成： (2)第二式证明与前半题类似 （3）最后一式曲括号内这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为是一对正则共轭量的缘故。
[10]证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3......i自由度（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量 间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定 的函数形式如下：式中 是指两组已知的复数，若 不能用的形式表示，则下面的证法无效，按此假设，可进行下述的变形运算：I≡[A,B]= 最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以的简化为例：试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式： （4） （5）利用（4）式，令则有以下诸式：或： （6）同理有 （7）依次类推……………………………………将（6）式代入（5）有： （8）将最后一式第一项分解，重复应用（6）：运用式（7）于前式中的:物83-309蒋 （9）与（8）式比较，增加的高阶次 （10）按同样方法连续变形次，得到下式；式中假设。
或改写作： （11）将此式代到（3）式中，得下式：~95~ 将这对易式遍乘以，则右方各项中，第一项将与无关，第二项以后含以上的幂，取极限时将留下第一项 （12）其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度，因而 按经典力学定义： = = （13）两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实 4.8证明，若当时并不趋于0，则 不一定是厄密算符证明）设,是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分 继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：由此计算可知若大括号里总和为0，则算符 符合厄密算符定义，但按题意 时， 不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为04.9——3.134.10定义反对易式，证明证：4.11——4.1 4.12——4.2 4.13——4.34.13设是由，构成的标量算符，证明 （1）证： （2） （3）同理可证， （4） （5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。
4.14——4.64.15——4.7，4.104.16——4.44.17——4.54.17定义径向动量算符 证明：， ，，，证：，即为厄米算符据4.8）（1），其中 ，因而 以左乘上式各项，即得4.18——4.84.18证明 （1） （2） （3） （4）证: （1）利用公式 ，，有其中 因此 （2）利用公式， （Δ）可得 ① ② ③由①②③，则（2）得证3）（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ，其中（即）类似地可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证4.19——4.9，4.114.20——4.12，4.134.21利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解：一维谐振子能量 又奇，，，（由(3.8)、(3.9)题可知），，由测不准关系，得 得 同理有，谐振子（三维）基态能量4.21利用测不准系估计谐振子的基态能量[解]写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式： (1)取能量的平均值： 在一维谐振子的情形，座标的平均值，动量平均值计算坐标和动量的“不确定度”（即均方根偏差） 按一般公式 （2）因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示 （3）但根据测不准关系式：作为估计，可以直接取其下限，即认为 将此结果代入式（3），并且计算的极小值，就是所求的基态能量： 用此取括号内值为零的条件，得 这时4.22利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze） （解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题 （1）取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形， ，因而。
此外，，所以，因此为计算方便，可取 ， 对能量关系式取平均值 （3）利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但与之间并无已知的对易关系式，此可作一维问题处理，认为，并用 （4）则（3）式成为： 当取时，E有极小值 就是基态能量4.22 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为类氢原子基态波函数，仅是的函数而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：而，如果只考虑基态，它可写为，与共轭，于是，， （1）求极值 由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）代入（1）式，得基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的4.23没找到答案4.24在一维对称势阱中，粒子至少存在一种束缚态（见3.1节）在给定势阱深度情况下，减少势阱宽度，使，粒子动量不确定度位置不确定度，因而下列关系似乎存在，这与测不准确关系矛盾，错误何在？（解）在一维有限深（）势阱的问题中，以势阱中点作为原点时，至少有一个偶宇称的束缚定态，其能量E决定于条件： 因此这个基态能级E与有关，甚小时，E也甚小，座标不确定度不能简单的用势阱宽度来估计，估计值只需正确到数量级，势阱两边的波函数是 。