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1、小波在图像处理中的应用小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、样条分析和调和分析基础上的新的分析处理工具。又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数学显微镜”。近些年来，小波分析被广泛应用于图像降噪和压缩、图像增强、图像融合和图像边缘检测等领域。1 小波变换的定义和性质设是平方可积函数，即，是被称为基本小波或母小波（mother wavelet）的函数，可定义 （1）为的小波变换。式中为尺度因子，代表位移。符号代表内积，其定义为：上标*代表共轭，是基本小波的位移和尺度伸缩。其中，和都是连续变量。因此称（1）式的定义为连续小波变换（continuou
2、s wavelet transform）。在连续小波变换中，尺度因子越大，则就越宽，该函数的时间分辨率就越低。在前增加因子是为了使不同下的能量相同。小波变换的等效频域表示为 (2)式中，分别是，的傅立叶变换，是幅频特性比较集中的带通函数，小波变换具有表征分析信号频域上局部性质的能力。采用不同的作处理时，各的中心频率和带宽都不同，但品质因数（中心频率/带宽）却不变。小波变换方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定，但其形状可改变，时间窗和频域窗都可改变的时频局域化变换方法，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，正是这种特性，小波小波分析，
3、被称为“数学显微镜”，使小波分析具有对信号的自适应性。小波变换，相当于用镜头观测目标，代表镜头所起的所用（如卷积或滤波），相当于使镜头相对于目标平行移动，的作用相当于镜头向目标推进或远离。小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样，因仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可以调节的，即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是小波变换优于经典傅立叶变换和短时傅立叶变换的地方。从总体上
4、讲，小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。小波变换具有以下特点和作用：（1）具有多分辨率（multi-resolution，也叫多尺度multi-scale）的特点，可以由粗到细逐步观测信号。（2）可以把小波变换看成由基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度下对信号做滤波。由傅立叶变换的尺度特性，如果的傅立叶变换为，则的傅立叶变换为，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。（3）适当地选取基本小波，使在时域上为有限支撑，在频域上比较集中，便可以使小波变换在时域、频域都具有表征信号局部特征的能力，这样就能够检测到信号的瞬态和奇异点。与傅立叶变换相比，小波
5、变换具有以下特点：（1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号分解到以为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限的信号分解到由小波函数所构成的空间上去。（2）傅立叶变换用到的基本函数只有、或，具有唯一性；小波变换用到的小波函数则不是唯一的，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析，可能结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题，也是分析研究的一个热点问题。目前一般通过经验或不断的试验，将不同的分析结果进行对比来选择小波函数。一个重要的经验是根据待分析信号和小波函数的相似性选取。（3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变
6、换很容易把信号表示成各频率成分叠加和的形式，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，无法从信号的傅立叶变换中看出在任一时间点附近的形态。（4）在小波分析中，尺度越大相当于傅立叶变换中的值越小。（5）在短时傅立叶变换中，变换系数主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，则分辨率也就固定了。在小波变换中，变换系数虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度是随尺度的变换而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。（6）若信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；小波变换带通滤波器的带宽则正比于中心频率，即（为常数）即
7、滤波器有一个恒定的相对带宽，称为等结构。2 二维小波变换和多分辨率分析遥感图像是二维信号，二维小波变换应用到遥感图像处理的基本思路是把小波变换由一维推广到二维。以下介绍二维小波变换的基本原理。令表示一个二维信号，和分别是横坐标和纵坐标。表示二维基本小波，将二维连续小波定义如下：令表示的尺度伸缩和二维位移 （3）其中，因子是为了保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一化因子。则二维连续小波变换为： （4）上式对应的反演小波变换是 （5）式中，以上就是由一维小波变换引申出的二维连续小波变换的定义。二维小波变换比一维小波变换复杂的地方在于，在尺度伸缩的同时还进行坐标旋转，即尺度因子可以改写成矩阵表示：
8、式中，为旋转因子。 二维连续小波变换可以更一般地表示为：式中， （6）所以 （7）式中，。将（7）式更具体化，得到： （8） 分析上式可得，二维小波变换具有旋转功能，不但有放大的功能，而且有“极化”或“方向”性质，可以选择最佳偏振方向进行分析。 二维信号经变换后变成具有4个变量、和的函数，因此信息必定有一定冗余。可以类似一维信号那样在构成的多维空间尺度中进行离散化，以减少信息冗余，二维情况下的离散含义更加复杂些。先把旋转尺度因子改为： 式中（）都取整数，所以（6）式和（7）式变为： （9） （10）把和都离散化，得，式中，是取定的非奇异22矩阵，是离散化位移的序号（设位移间距），于是在离散栅格
9、上的二维小波变换定义如下： （11） （12）式中，和一维信号不同的是，二维离散采样方式有多种，取决于尺度矩阵的具体取值式中，、为沿、两个方向的原始坐标；，、为沿、两个方向抽取出各点的新坐标序号。 下面分析二维多分辨率思想。在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿方向分别用和作分析，把图像分解成平滑逼近和细节这两个部分，然后对这两个部分再沿方向分别用和作类似分析，如图1所示。这样得到的四路输出中，经和处理所得的一路是的第一级平滑逼近，其余三路输出为、，它们为细节函数，当作1级分析时，有 （13）当作级分析时有 （14）将一幅图像进行小波分解（）时，因要经过两次抽取，处理后图像尺寸将减小
10、为原来的1/4。一幅图像经过一级分解后，变成四小幅，左上角LL是平滑逼近，其余三幅是细节图像，其中LH1是垂直分量，HL1为水平分量，HH1为对角分量，如图2所示。 沿方向用作分析方向的细节函数 沿方向用作分析 沿方向用作分析方向的平滑逼近 沿方向用作分析 沿方向用作分析 沿方向用作分析图1 可分离情况下的多分辨率分解 LL HL3 LH3 HH3 HL2 LL HL1 HL1 LH2 HH2 LH1 HH1 LH1 HH1图2 一级分解各分量示意图 图3 可分离二维多分辨率三级分解3 基于小波的图像降噪数字图像在生产过程中，可能会收到诸如传感器振荡，电子器件干扰等因素的影响，导致转换后得到的
11、数字图像质量下降，影响了对图像内容的理解。为保证后续处理的正确性，需要对图像进行去噪处理。在图像去噪时，存在如何兼顾降低图像噪声和保留图像细节的难题。长期以来，人们根据图像的特点、噪声的统计规律和频谱分布规律，提出了多重去噪方法，比如维纳滤波等，但降噪效果都不够理想。小波变换具有低熵性、多分辨率、去相关性、选基灵活等特点，可同时进行时频域的局部分析，能够灵活地对信号局部奇异特性进行提取。从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，小波去噪具有特征提取和低通滤波的综合功能。目前基于小波分析的图像去噪已成为图像去噪的一个重要方法，本节将系统探索，小波去噪应用于林区高空间分辨率遥感图像的增强处理
12、。根据对小波系数处理方式的不同，常见的去噪方法可分为三类：基于小波变换模极大值去噪；基于相邻尺度小波系数相关性去噪；基于小波变换阈值去噪。其中小波阈值去噪方法在实际中应用较广。小波阈值降噪的基本思想就是对小波分解后的各层系数模大于和小于某阈值的系数分别进行处理，再利用处理后的小波系数重构出降噪后的图像。在阈值降噪中，阈值函数体现了对小波分解系数的不同处理策略及不同估计方法，常用的阈值函数包括硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像可能会出现伪吉布斯效应等视觉失真现象；软阈值函数相对较平滑，但可能造成边缘模糊等失真现象，为此人们又提出了半软阈值函数。小波阈值降噪
13、方法处理阈值的选择，另一个关键因素是阈值的具体估计。若阈值太小，降噪后的图像仍然存在噪声；若阈值太大，重要图像特征将被滤掉，引起偏差。从直观上讲，对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。遥感图像的小波降噪包括以下三步：（1）二维图像信号的小波分解。在这一步中，应选择适合的小波和恰当的分解层次（记为）然后对待分析的遥感图像进行层分解计算。（2）对分解后的高频系数进行阈值量化。对分解的每一层，选择一个恰当的阈值，并对该层高频系数进行软阈值量化处理。阈值选取规则同前面的描述。（3）二维小波的重构图像信号。根据小波分解后的第层近似（低频系数）和经过阈值量化后的各层细节（高频系数），来进行遥感图像的小波重构。在林业遥感
