第4讲 抽象函数与分段函数课程目标1.掌握抽象函数与分段函数的有关概念；2.熟练掌握抽象函数与分段函数的解题方法；课程重点抽象函数与分段函数的解题方法课程难点抽象函数与分段函数的解题方法教学方法建议通过经典考题知识点细致梳理，对“抽象函数与分段函数”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解层次较好的学员可以全部讲解选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 7 ）道（13 ）道（ 10）道B类（ 1 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道C类（ 0 ）道（ 0 ）道（ 0 ）道一：考纲解读、有的放矢分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数．由于分段函数更能深刻地考查函数的各种性质，且在现实生活中具有广泛应用，因此对分段函数有关内容的学习显得尤其重要，抽象函数难度大，抽象度高，是高考的热点二:核心梳理、茅塞顿开1.解决抽象函数问题主要方法是赋值法，和模特函数法；2.分段函数的主要问题和方法：求自变量（或定义域）问题这类问题先求出各分段上的解，然后再合并，体现了“先分后合”的思想求函数值（或值域）问题求函数值（或值域）关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。
求解析式及作图问题求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等分段函数作图要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性三：例题诠释，举一反三知识点1：抽象函数问题例1．（江苏泰兴市重点中学2011届 C）已知函数的定义域为，对任意实数都有，且当时，（1）求的值，并证明当时；（2）证明在R上是减函数；（3）已知，若不等式的解集为（），求的值.（4）设，，若，试确定实数的取值范围5）若实数x、y满足：，且，求z=x+y 的取值范围.（注：函数关系式也可改为）解：（1）∵对任意实数m，n都有，∴ 又∵当时，∴.∵且时从而∴时.（2）设任意且，则 ∴在R上是减函数.（3）因为，所以所以原不等式等价于因为在R上递减，所以不等式等价，依题可知是方程两根，由违达定理得 （4）∵，∴欲使，只须使直线与圆至多有一个公共点，∴，即的取值范围为. （5）【方法一】 ① 又 ② 如图，同时满足①、②的点（的集合如阴影所示（包括边界）， 所以，当直线与阴影部分有公共点时，t ∈[4，6] ∴Z∈[4，6] 【方法二】如图，同时满足①、②的点（的集合如阴影所示（包括边界），故可设，则，因为，所以，，所以，Z∈[4，6]变式1：（2010年3月广东省广州市高三一模数学 B） 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。
变式2：（2010年广东省揭阳市高考一模试题 C）已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,,求数列{}的前项和.变式题3：（四川省成都外国语学校 B） 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负知识点2、分段函数问题例题2：(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学 A)设函数f(x)=若f(x0)>1，求x0的取值范围变式.（江西省2011届高三 B）已知函数f(x)=，求函数f(x)的值域例3.(2009年广东模拟A)例四、设f(x)为定义域在R上的偶函数，当x-1时，f(x)的图象是过点（-2，0），斜率为1的射线又在的图象中有一部分是过顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f(x)解析式，并作出其图象变式题：（2010湖南模拟 A）已知g(x)= 试判断函数g(x)的奇偶性四：方向预测、胜利在望1.已知f(x)=求f{f[f(-1.1)]}2.求函数f(x)= 的最大值3.已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。
4.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围5.已知定义域为R的函数满足.(1)若(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.6.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.7.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.8.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．参考答案：例题2：解：若x00，则有2-1>1，得x0<-1；若x0>0，则有 x0>1，得x0>1综合可得：x(-,-1)变式;分析：先分别求出每一段上的值域，再求其并集解：当时，f(x)；当时，f(x)；当时，f(x)=11故函数f(x)的值域为[1，11]例题3：解：当x-1时，由条件得f(x)=f(-x)=-x+2；当-1x0时，由条件可设f(x)=ax+2；由于抛物线过点(-1,1)，故，即1=a+2，即a=-1，因此此时f(x)= -x+2。
所以当0x1时，f(x)=f(-x)=-x+2又当时，当x=-1时，x+2=-x2+2，当x=1时，-x+2=-x2+2，所以f(x)= ，图象如图变式：解：数形结合法作出g(x)的图象，知关于y轴对称，故为偶函数方向预测：1.分析：对于含有多层的函数求值，可“从内到外”逐一求之解：由f(-1.1)=-1.1+3=1.9，所以f(1.9)=1.92=3.61，f(3.61)=23.61=7.22，即f{f[f(-1.1)]}=7.222.解：先求每个分段区间上的最值，后比较求得最大值当x0时，y=f(x)=2x+3 ，此时为增函数，有y=f(0)=3；当01时，y=f(x)=-x+5，此时为减函数，无最大值综上所知，当x=1时，y max=4。