勾股定理难题训练1、如图 1，△ ABC和△ CDE都是等腰直角三角形，∠ C=90°，将△ CDE绕点 C逆时针旋转一个角 度α（ 0°<α< 90°），使点 A， D， E在同一直线上，连接 AD， BE．（1）①依题意补全图 2；②求证： AD=BE，且 AD⊥ BE；③作 CM⊥DE，垂足为 M，请用等式表示出线段 CM， AE，BE之间的数量关系；2）如图 3，正方形 ABCD边长为 ，若点 P满足 PD=1，且∠ BPD=90°，请直接写出点 A到 BP 的距离．2、（ 1）问题发现：如图 1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，当△ DCE旋转至点 A，D，E 在同 一直线上，连接 BE，易证△ BCE≌△ ACD．则①∠ BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段 AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，且∠ ACB＝∠ DCE＝90°，点 A、D、E 在同一直线上， 若 AE＝ 15，DE＝7，求 AB的长度．（3）探究发现：如图 3，P为等边△ ABC内一点，且∠ APC＝150°，且∠ APD＝ 30°， AP＝5，CP＝4，DP＝8，求 BD的长．3、如图 1，△ ABC中， CD⊥AB于 D，且 BD： AD： CD=2：3：4，（ 1 ）试说明△ ABC是等腰三角形；（2）已知 S△ABC=10cm2，如图 2，动点 M从点 B出发以每秒 1cm的速度沿线段 BA向点 A 运动， 同 时动点 N从点 A 出发以相同速度沿线段 AC向点 C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停 止．设点 M运动的时间为 t （秒），①若△ DMN的边与 BC平行，求 t 的值；②若点 E 是边 AC的中点，问在点 M运动的过程中，△ MDE能否成为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由．4、已知，△ ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为 AB的中点，若 E 在直线 AC上任意一点， DF⊥ DE， 交直线 BC于 F 点． G为 EF的中点，延长 CG交 AB于点 H．（1）若 E 在边 AC上．①试说明 DE=DF；②试说明 CG=GH；（2）若 AE=3， CH=5．求边 AC的长．5、如图①，在矩形 ABCD中，AB＝5，AD＝ ， AE⊥ BD，垂足是 E.点F是点 E关于 AB的对称点，连结 AF， BF.(2) 若将△ ABF沿着射线 BD方向平移， 设平移的距离为 m(平移距离指点 B沿 BD方向所经过的线 段长度 ) ．当点 F分别平移到线段 AB，AD上时，直接写出相应的 m的值．(3) 如图②，将△ ABF绕点 B顺时针旋转一个角 α(0°< α< 180° ) ，记旋转中的△ ABF为△ A′ BF′，在旋转过程中，设 A′ F′所在的直线与直线 AD交于点 P，与直线 BD交于点 Q. 是否存在 这样的 P，Q两点，使△ DPQ为等腰三角形？若存在， 求出此时 DQ的长；若不存在， 请说明理由．。