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1、太原五中20172018学年度第二学期模拟 高 三 数 学(理)出题人、校对人：王文杰、郭舒平、刘锦屏、李廷秀、凌河、闫晓婷（2018.5.25）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合，则（ ） 2、若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数=（ ） 3、“直线与直线平行”是“”的（ ）开始输出结束是否充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件4、若，则下列判断正确的是（ ） 5、若，则（ ） 6、执行如图所示的程序框图，若输出的的值为6，则判断框中的条件可以是（ ） 7、由计算机产生个01之间的均匀随机数
2、构成个数对，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有对，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） 8、在中，则的面积等于（ ）2正视图俯视图侧视图 9、已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，若该几何体的体积为，则该几何体的最长棱长（） 10、某人根据自己的爱好，希望从T，Y，W，Z中选两个不同的字母 ，从0，2，6，8中选三个不同的数字编拟车牌号，要求前两位是字母，后三位是数字，且数字2不能排在末位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）180个 198个 216个 234个11、已知直线与椭圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 1
3、2、已知定义在上的函数满足，设与图象的交点坐标为,若,则的的最小值为2 4 6 8第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为_.14、已知正方体的棱长为,点是底面上的动点，则的最大值为 .15、已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥的体积最大值是_.16、设函数,若函数在内有两个极值点,则实数的取值范围是_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知数列的前项和满足.（
4、1）求数列的通项公式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18、（本小题满分12分）ABCDPMN在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，点是中点.求证：（1）平面平面； （2）求二面角的余弦值.19、（本小题满分12分）某高校在2017年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组 号分 组频 数频 率第一组145,155）50.05第二组155,165）350.35第三组165,175）30第四组175,185）第五组185,195）100.1（1）请写出频率分布表中的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成
5、绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试.求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X表示来自第四组的学生人数，求X的分布列和数学期望； 若该高校有三位面试官各自独立地从这12名考生中随机抽取2名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为Y，求Y的数学期望.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线准线于点，直线交抛物线于点.（1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标；（2）若，三点满足，求
6、直线的方程.21、（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在区间上不是单调函数，讨论的实根的个数.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知平面直角坐标系中：，是曲线上任意一点，求面积的最小值.23、（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】已知函数.（
7、1）解不等式；（2）已知，求证：.高三二模答案1、解析：2、解析：3、解析：若直线与直线平行，则有，所以. 所以“直线与直线平行”是“”的充要条件.故选4、解析：.5、解析：由题意可知：，即，即，所以或（舍），所以，故选6、解析：程序的运行过程如下：初始值：，；第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时满足题意输出，退出循环，所以判断框中的条件可以是“”，故选7、解：由题意，对01之间的均匀随机数，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且面积为，所以，得故为8、解析：由条件知，所以，由正弦定理可得，故的面积.故选 9、解析：由三视
8、图可知，该几何体是四棱锥顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，ABCDDODPD连接,由侧视图知，又为等边三角形，所以，于是由，得，所以最长棱长.故为10、解析：（1）不含Z不含2共有：个；（2）含Z不含2共有：个；（3）不含Z含2共有：个；（4）含Z也含2共有：个；所以共有36+36+72+54=198个，选11、解析：因为直线与椭圆有且只有一个公共点，联立，得，由，解得，设，则由可知：且，所以，所以双曲线的离心率的取值范围为，故选. 12、解析：根据,可知的的图象关于(a,b)对称,又因为又设为奇函数,所以的图象关于(a,b)对称,所以对于每一组对称点有所以=4m, ，故=,当且仅当a=
9、b=1时, 取最小值2.故选13、解析： 曲线围成区域面积为： .14、解析：以点为原点，,为轴建立空间直角坐标系，则，设，其中，则，等号成立条件是，故最大值为.15、解析：2因为球的直径，且，所以，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时， 最大且满足，即，此时。16、解析：要使得函数在 内有两个极值点,只需在内有两个解,可转换为函数与g(x)=a(x-1)的图象在内有两个交点.由知,当时,函数, 在上为减函数,当时,函数在 上为增函数,当直线g(x)=a(x-1)与曲线相切时,设切点坐标,由导数的几何意义可以得到解得或（舍去），可知a=1, .17、解析：（1）当时，即
10、，得; 当时，有， 则，得，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.所以，即.（2）原不等式即，等价于.记，则对恒成立，所以.，当时，即；当时，即；所以数列的最大项为，所以，解得.18、解（1）证明：在正三角形中，在中，ABCDPMNxyz又，所以，所以为的中点，又点是中点，所以因为平面，所以，又，,所以又，又，所以，已证，所以，又，所以平面平面；（2）如图所示以为原点，建立空间直角坐标系。已知，是正三角形，则所以设平面的一个法向量为由令，则，所以设平面的一个法向量为由令，则，所以所以所以二面角的余弦值为-.19、解：（1）由题意知，（2）第3、4、5组共60名学生，现抽取12名，因此第三
11、组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人，第五组抽取的人数为人.所有可能的取值为0，1，2，；的分布列为：012从12名考生中随机抽取2人，考生甲被抽到参加面试的概率为则，.20、解析：（1）由题意得抛物线准线方程为，设，故，从而直线的方程为，联立直线与抛物线方程得，解得，故直线的方程为，整理得，故直线恒过定点.（2）由（1）可设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得消元整理得，设，则由韦达定理可得，因为，故，得，联立两式，解得或，代入，解得或，故直线的方程为或，化简得或.21、解析： (1)根据题意,令所以,当时, ,当时, 所以,故.(2)因为函数的对称轴轴方程为,所以.据题意,令,所以,令G(x)=0,解得或，函数G(x)的定义域为因为且，由此得: 时,1+mx0,mxG(0)=0,x0时,G(x)G(0)=0，G(x)在有且只有1个零点x=0，G(x)在上单调递减,所以，由(1)代换可知，则，时，而得又函数G(x)在上单调递增，由函数零点定理得, 使得，故时方程有两个实根.22、解析：（1）由，得，将代入得，即为曲线的极坐标方程.（2）设点到直线的距离为，则，当时，有最小值，所以面积.23、解析：（1）不等式，即，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；综上所述：不等式的解集为.（2），当且仅当，等号成立.由题意知，所以.
