《第4章 变形率和旋率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章 变形率和旋率（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 章 变形率和旋率有限变形：与t有关，t作为参变量。一一变形几何学现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定X “，对时K 间求偏导数变形运动学。4.1 物质变形梯度的物质导数Lagrange 描述法：x 二 x (X , t)k k K(物质)变形梯度张量：F =亘 i IdX k KKQ-xF =- = GradxQX物质导数：QF =(F )1(“ I ”表示保持X不变)QtXKX KKQ Qx(X, t)=(QtQXX_ Q 2 x _ Q QxQX Qt QX QtQv=GradvQX4.2 速度梯度张量变形梯度张
2、量的物质导数Qv Qx1)=Qv二 G - FQx QX定义：g=Qx称为速度梯度张量Qx-gradvG 二 vklk ,l由（1）,可得：G = F -F-iG = v e e速度梯度张量k , l k lG比F用处更大。4.3线元dx的物质导数初始构形中的线元dX , 现时构形中的线元 dxdx = FdX求：dx对时间的物质导数：(dx)口 = (FdX ) = FdX = G F dX则(dx)u = G dx反映了线元的变化速度。空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。 4.4 G 的加法分解F用极分解，T F-1存在 而G用加法分解，t G-1不一定存在分解对称部分和反对称
3、部分1Q =(G - G t)21Q = (v一 v )kl 2k ,ll,k1D = (G + G t)21变形率张量整旋率张量D = (v + v )kl 2 k ,l l ,kDQ (物质旋率)(dx) = Ddx + Q dx1.变形率张量D。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向n (a = 1,2,3)，主值DaaD = D n n(a)a aD dx = D n n dx n = Ddx n(a) a a 卩卩(a)a a由上式看出，D为变形率张量，D为n方向变形速率，n为变形率标架。a aa2.旋率张量Q，反对称张量，只有三个独立的分量只要： = 0 ， = 0 ， 132213
4、3=0 21则上式成立。血称为轴矢量，转动角速度。Euler 描述法：4.5变形速度张量(dl)2 (dL)2 = 5 dx dx (dL)2klkl求物质导数： (dl- -dL2)= (dl)2 = (d dx dx ) dtdtdtkl k l=5 dX dx +5 dx dXkl k l kl k l dx = x dXk k ,K Kdx = xdX = vdX = v x dXkk ,KK k,K Kk ,l l,KK= v dxk ,ll(dl 2 一 dL2)= (v + v )dx dx dtk ,ll , kk或写成= 2 D dx dxkl k l= 2d xDd x(
5、D = -(G + Gt)21-(v + v )称为Euler变形速度张量。D (前面称为变形率张量)，有了 Euler变形速度 2 k ,ll,k张量便可知f (dl2 dL2)。dt线元dl的伸长率：(dl)2 = 2dl - (dl) = 2D dx dxdtdtkl k ldt(d)dx dx小除以2(dl)2,贝y：= D1?k - J = D n ndlkl dldlkl k l（其中n , n分别为dl在k和l方向的方向余弦）kl知道D后，任何dx的单位长度的变化率可用D表示出来。Lagrange 描述法：(dl )2 = 2drDdr dt*）= 2dXF T DFdX(dx=
6、 FdX) Larange变形速度张量为： E = F t - D - F另推： Green 变形张量： Cdl2 -dL2 = C dX dX -8 dX dXKL KL KL K L*)(dl2 -dLz) = C -dX dXdtKL K L=dX - C dX比较(*)与(*)式，Green变形张量的物质导数C = 2 E = 2F T D - F4.6 应变速度张量Lagrange 描述法：1Green 应变张量：E = (C 一1)1 求物质导数：E = - C = F t - D - FLagrange 应变速度张量： =Lagrange 变形速度张量111另推：E = -C =
7、 -(Ft F) = (FtF + Ft F)222=1( F t G t F + F t G F)2=-F t(G T + G)F= FT DFEuler 描述法：Almansi 应变张量）1Euler 型应变张量：e = - （1 一 B-1）（前面：B -1称为Cauchy变形张量）/ B-1 = (F -1)t(F -1)11求物质导数：e = -2(B-1)=-2(F-t)f-1 + F-t(F-1)/ FF -1 = I，贝y Ff -1 + F F -1 = 0则 F-1 = F-1 G同样：F T = -GT F -T1则：e = GT B-1 + B t - G 又 B-1
8、= 2e +11则：e = (G T + G) (G Te + eG)2二 D (G Te+eG)Euler应变速度张量e与Euler变形速度张量不同。 即使d = 0, e也不一定为零。若D = 0 （即线元长度不变化）则G = -GT = Q （只有旋率张量） e丰0 （应变仍存在） e二Q -e 一e -Q不为零。4.7 各种旋率张量1. 主旋率张量11Q = （G 一 G T） 物质旋率10 = G = （v v ） kl kl k ,l l,k2. Lagrange 旋率张量设e ,e ,e固定在空间的标架一一绝对标架e13F 的极分解： F = QUF = VQU的主方向M1，M-
9、，M3也构成标架L映ge标架，U是变化的则对应的 Lagrange标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange旋率。M = Ql - e(Q是一个正交张量，只是标架转动)dM = Ql - e = Ql - (Ql )t M (t e = (Ql )t - M) dtQL = QL (QL )T 称为 Lagrange 旋率张量。可证QL是反对称张量QL是正交张量，即QL (QL)T = IQ l (Q l )t + Q l (Q l )t = 0Q l + (Q L )t = 0QL是反对称张量。3. Euler 旋率张量V的三个主方向，加严2化构成Euler标架,m二QEi（ Q
10、E正交张量）m = Q e e = Q e (Q e )t m dtQE = QE (QE )t称为Euler旋率张量。4. 伸长率标架旋率（变形率）变形率：D也有三个方向nnn构成一个标架n123n= QDedn dtn = Q D e = Q D (Q D )t n dtQD = QD（QD）t称为伸长率标架旋率。5. 相对旋率张量： Q REuler 标架相对于 Lagrange 标架的转动速度。M表示Lagrange标架，m表示Euler标架。Q :表示从Lagrange标架到Euler标架的转动（与极分解Q相同）m = QM求相对运动，视M为不动的标架（实际上在动）相对旋率：QR =
11、 Q QTQ 为正交张量， QR 为反对称张量。4.8 主旋率和相对旋率的关系1Q = 2（G - G t）物质旋率Q R = QQt （相对旋率）;F = QU = VQF的极分解：F = QUF = Q U + QfJ又 F = GF则 G = FF -i = (QU + QJJ )F -i又 UF-1 = U t F -1 = Q-1 = Q t则 G = QQt + QIJU-iQt = Qr + QUU-iQt同理：Gt = (Qr )t + QU-UQt11 Q = - (G - Gt ) = Qr + - Q(UU -i - U-1U )Qt 22t ：时间在动力学中确定与时间有关。 在静力学中，该时间概念有的所不同，认为荷载增量，应变增量，变形增量，增量 理论，就提出了有变形率、应变率问题，借用时间t来考虑增量问题，其实不与时间紧密相 关。
