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1、酒精在人体内含量预测模型摘要： 本文针对酒后驾车问题，通过分析，人在酒后血液中酒精的含量随时间的变化情况，通过相关资料我们了解到人在喝完酒后，酒精首先进入胃中，再由胃慢慢进入血液中的情况。综合运用微分方程的知识，建立数学模型，很好地描述酒精分别在胃中和在血液中随时间的变化情函数关系。 就问题（1），大李所遇到的问题分析，零晨2点大李饮酒驾驶，即在下午6点喝完酒后，过t=8小时后，他血液中的酒精含量y2大于20毫克/百毫升小于80毫克/百毫升。通过模拟函数表达式及曲线，很好的解释了大李的问题。针对问题（2）中，将三瓶啤酒的喝法分为两种情况考虑，但其做法大体相同，仅需区别每次喝下啤酒时胃中及血液中
2、酒精的含量不一样，分段绘制曲线，求出血液中酒精含量从刚刚大于20毫克/百毫升到小于20毫克/百毫升，所要经历的时间。在通过对（1）(2)问的求解后，通过建立的微分模型对具体数据讨论（3）（4）得到的结果。 另外我们通过对该问题的分析后给想喝一点酒的司机驾车提出了一些忠告。 文中运用数学分析，matlab软件的使用等知识对模型进行计算和误差分析。最后讨论了模型的优缺点及改进方向。一模型假设（1） 进入人体内的酒，约10%的由呼吸道、尿液和汗液以原型排除的酒精在排出过程中不影响胃肠、体液、血液和肝脏的浓度。(2) 人体体液、血液吸收酒精的速率与它们和胃肠浓度的差成正比关系。(3) 假设啤酒刚进入胃
3、时浓度不变。（4） 假设喝到胃中的酒进入到血液中.（5） 随着时间的推移需要考虑胃血液中的酒精浓度的变化.二符号说明 表示t时刻胃中的酒精浓度的变化； 表示t时刻血液中的酒精浓度的变化；K1 表示酒精在胃中的转化速率；K2 表示酒精在血液中的转化速率；G0 表示胃中的酒精浓度；T 表示时间；且t=k(k=0.25,0.5,0.75,1,)三问题的分析饮酒驾车的检测就必须先考虑血液中的酒精含量是如何随时间变化的，经分析得到酒精变化是自由扩散而形成的，于是利用检测到的数据模拟酒精在血液中变化的函数关系；切不考虑其他的变化（进入人体内的酒，由呼吸道、尿液和汗液以原型排除的酒精在排出过程中不影响胃肠、
4、体液、血液和肝脏的浓度）。用微分方程描述酒精在人体的变化过程，建模过程大致可分以下几部分：（1） 分析酒精在人体内，随时间变化的过程。（2） 建立模拟曲线，由于人体酒精达到一个动态平衡的关系，为此所得的微分方程将是线性的。（3） 由于酒精的浓度有一定的不确定性，可在一定的范围进行调整（4） 对天天喝酒，是否还能开车的要求，给出合理的解释（5） 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告四建模前的准备根据体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277
5、686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774绘制曲线如下图故根据血液中酒精含量与时间的关系图，我们假定血液（胃）中的酒精含量增加（减少）率正比于胃中的酒精含量与血液中酒精含量之差，设比例系数为K1，且假定血液中酒精含量的减少速率正比于血液只身的酒精含量，设比例系数为K2.在考虑酒精在人体仅转移到血液中的条件下，取t, t+t包含于k,k+0.25,在这个时间段内酒精在胃中的变化量为 即 令则 ，.（1）故同理可得，血液中酒精的含量随时间的变化 .（2）五模型的建立与求解5.1 建立血液中酒精含量随时间变化的函数模型 人在
6、连续喝下两瓶酒后，血液中的酒精含量随时间变化的关系图，可知血液中的酒精含量在约前1.5个小时的时间内呈连续快速上升状态，到达最大值后会缓慢连续下降。 对这两个时间短的分析： 建立如下的函数关系模型： 联立胃中酒精含量变化关系模型： 求解可得：=1/2*G0*(k2+(4*k12+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2+1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t)-1/2*G0*(k2-(4*k12+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2-1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t)=G0*k1*(exp
7、(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*k12+k22)(1/2)(1)G0为胃中酒精含量的初始值(2)曲线拟合求解k1,k2根据血液中酒精含量也时间的已知数据点（）（i=0.25 0.75,n）求函数=G0*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*k12+k22)(1/2)使得偏差平方和最小。即可求k1,k2,使Q(k1,k2)= -G0*k1*(exp(-
8、1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*k12+k22)(1/2)2达到最小。给G0赋一个初始值为230，解得k1=0.9212,k2=0.4080.即血液中酒精含量的表达式为：=G0*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*k12+k22)(1/2)如图所示： 血液中酒精含量拟合曲线与实际数据比较胃中酒精含量的表达式为：(G0=115, k1=0.9212,k2
9、=0.4080)=1/2*G0*(k2+(4*k12+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2+1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t)-1/2*G0*(k2-(4*k12+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2-1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t) 胃中酒精含量随时间变化的拟合曲线1.对大李碰到的问题进行分析 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车 可见大李在喝完一
10、瓶啤酒，经6个小时后血液中的酒精含量小于20毫克百毫升，紧接着又喝一瓶啤酒，胃中的酒精含量再次增加，以致血液中的酒精的含量再次上升，导致大李在凌晨2点（即14个小时之后）血液中的含量超标在12点到下午6点这个时间段内即取0t6,则从t时刻到t+时刻的酒精在人体的变化量为 =G0*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*k12+k22)(1/2) 其中G0=115,t=6,解得=18.8732此时间段，酒精在胃中的含量变化的函数表达式：=1/2*G0*(k2+(4*k12
11、+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2+1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t)-1/2*G0*(k2-(4*k12+k22)(1/2)/(4*k12+k22)(1/2)*exp(-k1-1/2*k2-1/2*(4*k12+k22)(1/2)*t)其中G0=115, t=6,解得=23.5103在下午6点到凌晨2点这个时间段内即取6t14,则从t时刻到t+时刻的酒精在人体的变化量的表达式为y2=G1*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*(t-6)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k2
12、2)(1/2)*(t-6)/(4*k12+k22)(1/2)+18.8737其中，G0=183.5103，t=14解得= 34.6794则两次喝酒的拟合曲线如图所示 2.喝下3瓶啤酒后血液中酒精含量随时间变化的分析针对问题（2），在较短的时间喝下3瓶啤酒和较长时间内（t=3）喝下3瓶啤酒分别来研究这个问题。1.在较短的时间喝下3瓶啤酒 在这个问题中，对于人在较短时间内喝下三瓶啤酒，即可以利用问题（1）中的模型解决此问题，则=G0*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*t)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*t)/(4*
13、k12+k22)(1/2)其中，GO=345，k1=0.9212,k2=0.4080,即可得到在此条件下血液中酒精含量随时间变化曲线如图所示：由图分析得：他可在12个小时以后可以正常驾车2人在较长时间内喝完三瓶啤酒的情况分析：假定三瓶酒是三个小时内喝的，且每隔一个小时喝一瓶。此时不管是血液或是胃中酒精含量的变化率与胃中酒精含量与血液酒精含量的浓度差之间的比例系数k1,k2不变，但每喝一瓶啤酒时，胃中酒精含量和血液中酒精含量，都不一样。此时，设喝第一瓶酒时，胃中的酒精含量为G0 血液中的酒精含量为 喝第二瓶酒时，胃中的酒精含量为G1 血液中的酒精含量为G2 喝第三瓶酒时，胃中的酒精含量为G3 血
14、液中的酒精含量为G4血液中的酒精含量随时间的变化函数表达式为：y1=G0*k1*(exp(-1/2*(2*k1+k2-(4*k12+k22)(1/2)*x1)-exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k22)(1/2)*x1)/(4*k12+k22)(1/2);（y2=1/2*(-k2*G2*exp(1/2*(-2*k1-k2+(4*k12+k22)(1/2)*(x2-1)+2*G1*k1 *exp(1/2*(-2*k1-k2+(4*k12+k22)(1/2)*(x2-1)+(4*k12+k22)(1/2)*G2*exp(1/2*(-2*k1-k2+(4*k12+k22)(1/2)*(x2-1)+exp(-1/2*(2*k1+k2+(4*k12+k2
