平面向量数乘运算平面向量的数乘运算一、知识精讲1．向量的数乘运算(1）向量的数乘运算的概念：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：①|λa|＝｜λ|｜a|；②λa（a≠0）的方向特别地,当λ＝0或a＝0时,0a＝0或λ0＝02）向量数乘的运算律: ①λ(μa)＝(λμ）a; ②（λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb (3）向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b 2．共线向量定理 向量a(a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.［小问题·大思维]1．若λa＝0，则λ＝0对吗？ 提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa,a若为0如何? 提示：当a＝0时,则λ不存在（b≠0时）或者不唯一(b＝0时）． 3．已知向量a,b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b共线吗？ 提示：n＝－2m,故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？提示：由于单位向量的长度总等于1，所以与非零向量a共线的单位向量应为±.二、典例精析[例1］ [（2a＋8b）－（4a－2b)］的结果是 ( )A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a－b［答案] B变式练习：1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2（3b＋c）－2（a＋b)＝ （ )A．－a B．－bC．－c D．以上都不对解析：3（a＋2b）－2（3b＋c）－2(a＋b）＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2(b＋c）．又a＝b＋c，故原式＝－a。
答案:A[例2］ 如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，变式练习:1、在本例条件中，试用a，b表示.2、设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2,＝2，＝2,则＋＋与 ( ）A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直答案：A［例3］ 设两非零向量a和b不共线，如果＝a＋b,＝3(a－b)，＝2a＋8b.求证:A、B、D三点共线．变式练习：已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．解题高手：如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且＝e1,＝e2,试用e1，e2表示，.三、课后检测一、选择题1．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线,则＝（ )A．－2 B．2C．－ D解析：∵ma＋nb＝λ(a－2b），∴∴＝－.答案:C2．如图，向量，,的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是（ )A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2qC．r＝p－q D．r＝－q＋2p解析：∵＝－3，∴＝－2＝2，∴r＝＝＋＋＝－p＋q.答案:A3．在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则＝( ）A。
a＋b Ba＋bC.a＋b Da＋b解析：如图．∵△DEF∽△BEA∴＝＝.∴DF＝AB＝DC∴CF＝DC∴＝＋＝a＋＝a＋（＋）＝a＋＝a＋b答案:B4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则( ）A．点P在△ABC外部 B．点P段AB上C．点P段BC上 D．点P段AC上解析：由＋＋＝，得－＝＋，即＝＋，∴2＝.答案：D二、填空题5．在△ABC中,已知D是AB边上一点，若＝2,＝＋λ，则λ等于________．解析:由＝2，得－＝2（－)⇒＝＋，所以λ＝答案：6．在▱ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是________．解析：设＝a,＝b.∵DE＝DC，AF＝AB，∴＝＋＝a＋b，＝＋＝－a－b＝－答案：＝－ 7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)解析：由＝3，得4＝3＝3（a＋b）,＝a＋b，所以＝(a＋b)－(a＋b）＝－a＋b答案：－a＋b8．如图，在三角形ABC中，＝a，＝b,AD为BC边的中线，G为△ABC的重心，用a、b表示向量＝________.解析：∵D是BC的中点，G是重心，∴＝＝(＋)＝（＋）＝a＋b。
答案：a＋b三、解答题9．已知a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a,tb,（a＋b）三向量的终点共线？解：由已知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ[a－（a＋b）］，化简得（λ－1）a＝(－t）b.由于a,b不共线，故解得即t＝时，三向量的终点共线．10．设O是△ABC内部一点,且＋＝－3,求△AOB与△AOC的面积之比．解：如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．所以＋＝2＝－3.所以＝－,||＝｜|设点A到BD的距离为h,则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h，所以＝＝·＝×＝。