课 题： 第04课时 不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧教学重、难点：1．掌握证明不等式的两种放缩技巧2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想二、典型例题：例1、若是自然数，求证证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想思考：若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？例2、求证：证明：由（是大于2的自然数） 得 例3、当 n > 2 时，求证：证：∵n > 2 ∴ ∴ ∴n > 2时, 三、课堂练习：1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。
放缩法在数列不等式证明中的运用高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用一、 放缩后转化为等比数列例1. 满足：（1） 用数学归纳法证明：（2） ，求证：解：(1)略(2) 又 ， 迭乘得： 点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列，，其前项和为求证：解：令，的前项和为当时， 点评:本题是放缩后迭加放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神例3.已知函数的图象在处的切线方程为（1）用表示出（2）若在上恒成立，求的取值范围（3）证明：解：（1）（2）略（3）由（II）知：当令且当令即将上述n个不等式依次相加得整理得点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论三、 放缩后迭乘例4．.（1） 求（2） 令，求数列的通项公式（3） 已知，求证： 解：（1）（2）略 由（2）得 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应只是求项和时用迭加，求项乘时用迭乘所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。
例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，故.综合得三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题 例4. 已知n∈N*，求证明：因为，则，证毕例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解例6. 已知函数，证明：对于且都有证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以例7. 已知，求证：当时证明：证毕五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的例8. 已知，求证证明：因为，所以可设，，所以则，即例9. 已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证： 证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，，则当时，，，所以。
六. 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解例10. 已知a，b∈R，求证证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，所以，即。