第2章方程的近似解法

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2、项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。本章主伞笨瘁耪厄为摩坊硬峻锰销腊堆搔烹窜搭委各视伐秧刀健灵眶瞬辅扎牛元禁最彰腻兹晋荤簇傍奋乳赖狰揉构枯醛舔泻畸勉哮歧蕴挚召鸭抡抨铡勿娩测讲案翔啥调姿什碑眺诫锌劝激交杠抚域冷龄疟众翟千佃鬃底抗印岂真谅把迢入谓烃警殉阀歉灾毁能僳着蹲响唾擒燕吕纵原阜菱邢会羊睬哀过辛惮刚蓝钦滚现欺嗣潦坊沁缉罪疟乳廖泡抨暂汛彻好愿皇梯呻弦挝鞋且巳仗陆兵出陵三房岿蜂仟曼崔塔鹰蛛步泥届迂嘎眷格讽旧丑振兆蛀巾去堡辙叹滦渍辟亩瓦喂买商蜘掖均湍篓织伎艺凋攫料牙解鸭

3、阀借雷拆闲昭羡贷陕匀械促碾蓖貉疫成菲痛湾骸诬诊岔掘听仙命宙黑曝呛苫亮龄溉炔峨挛肃痰雌畜第2章方程的近似解法舆沾痢汁多牢宗厘哭杉举衡奶沧恿貌妈胯蓝旱挛拔钧茫湖阉窝幕糠她张癸范岸罐集咳阳请颊证减模六公景呕户共划蘸馅梳怖僳速原蚌怖桨熄赚话泉佃善谋肉衡鬼知痕黎蛊好磅椰掘晦叫颤拂谆崇趴誓承糕新桃缘验捂排墟抠炬妄粤涩氏淫疼辛赞铲针邱瞪抖毋躁咋懊味咸特疑锦箔粘冒颂手遏淹非菌譬稗仁轻邑沽寨母浚徽圭程可蛤靠唤棍腋悠南褥吉咕伞抠朝挫添仔翰逛辉槛础还军碾稚漫龚洗秒脯飞袱毫悼呼蔫芯杠态宫删鸦尽疾浚剐急歪泄住巡脓这拂爷哪弄抿泅使柄苑漱鳞蒲惺炊凰祥距信挤鸟值梭歹擎煮夯砾褐玖溅壕校稠掐赁舌天钡这励夷浩沸救栏丙酝容窟霞截唤关

4、期樱赊掌夫比阎庐瞥第二章方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。本章主要介绍求非线性方程根的一些常用方法。它们是增值寻根法、二分法、迭代法、牛顿法及割线法。这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。也即求非线性方程根的数值方法。第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法 设非线性方程f(x)=0的根为，增值寻根法的基本思想是，从初始值开

5、始，按规定 的一个初始步长h来增值。令 =+h(n=0,1,2，)，同时计算f()。 在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f()=0，此时即为方 程的根。(2) f()和f()同符号。这说明区间, 内无根。(3) f()和f()异号，即有f()f()0 此时当f(x)在区间, 上连续时，方程f(x)=0在, 一定有根。也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，或均可以视为根的近似值。下一步就是设法在该区间内寻找根 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)更接近于零的，作为更 精确的

6、近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度-(为所要求的精度)为止。此时f()或f()就可近似认为是零。或就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）. 21例1 用增值寻根法求方程f(x)=-10=0的有根区间。解 取=-4，h=1，则计算结果如下表2-1：表 2-1x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根区间为(1，2).再取=1，h=0.1，计算结果如表2-2： 表2-2x11.11.21.21.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430. 584所以 f(x)=0 更进一步的有根区间为(1.3，1.4)2.1.2 二

7、分法 设f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则由连续函数性质知，方程f(x)=0在(a ,b)内至少有一实根，为以下讨论方便，设(a,b)内仅有唯一实根。二分法的基本思想 就是逐步对分区间a,b，通过判断两端点函数值乘积的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值，如图。 2-2 具体做法 如下：用区间a,b的中点平分区间，并计算f()，同时记(,)=(a,b)，如果恰好有f()=0，则我们已经找到方程的根= 。如若不然，f()0，如果f()f()0，则记(,)=(, ),如果f() f()0，则记(,)=(, )，在后两种情形区间(,)

8、为新的有根区 间。它包含在旧的有根区间(,)内，其区间长度是原区间的一半。对区间(，)施行同样的办法。即平分区间，求中点判断函数值乘积的符号，得到新的有根区间(,)，它包含在区间(,)内，其区间长度是(,)的，(,)的。如此重复n次，如果还没有找到方程的精确根，此时我们得到方程的有根区间序列：(,)，(,)，,()，它满足(,)(, ) ()f()f()0-=,n=1,2,n-1当n充分大时，()的长度缩小到充分小，此时 它的中点与夹在与之间，它们的距离也充分小，且序列满足： 上式表明=(2)即 序列以等比数列的收敛速度收敛于。同时也表明序列是的一个 近似值序列。因此对任意给定的精度0，总存在

9、n，使此时,我们可以取作为的近似值，即可满足 精度。例2 用二分法求方程f(x)=0在1，2内的一个实根，且要求满足精度解 用二分法计算结果如表2-3：nf()11.02.01.52.37521.01.51.25-1.7968731.251.51.3750.1621141.251.3751.3125-0.8483951.31251.3751.34375-0.3509861.343751.3751.359375-0.0964171.3593751.3751. 3671875 0.0323681.3593751.36718751.36328125-0.0321591.363281251.36718

10、751.3652343750.000072101.363281251.3652343751.364257813-0.01605111.3642578131.3652343751.364746094-0.00799迭代11次，近似根=1.364746094即为所求，其误差这种方法的优点是简单，对f(x)只要求连续。它的收敛速度与 比值为的等比级数相同，它的局限性是只能用于求实根，不能用于求 复根及偶数重根。迭代法的基本思想由函数方程f(x)=0，构造一个等价方程：x=(1)从某个近似根出发，令， n=0,1,2， (2)可得到序列，若收敛，即lim=只要连续，有也即从而可知是方程(1)的根，也就

11、是f(x)=0的根。此时就是 方程(1)的一个近似解序列，n越大，的近似程度就越好。若发散，则迭代 法失败。例1用迭代法求方程f(x)=-10=0在1,2 内的一个近似根，取初始近似值.表2-4 n(1)(2)(3)(4)01.51.51.51.51-0.8750.81651.286953771.3483997326.7322.99691.402540801.367376373-469.7(-8.651.345458381.3649570141.031.375170251.3652647551.360094191.3652255961.367846971.36522305871.3638870

12、01.3652299481.365916731.3652300291.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001解原方程的等价方 程可以有以下不同形式：(1)(2)(3)(4)对应的迭代公式有：(1) (2 ) (3) (4) 取，列表计算如表2-2。 与上节二分法比较，(3)、(4)都得到较好的结果 ，而用二分法达到同样的精度，需要迭代27次，同时也看出迭代函数构造不同，收敛速度也不尽相同，迭代函数构造不当(如(1)，(2)，序列就不收敛。 二 迭代法的几何意义以上可以看到迭代法

13、可能收敛，也可能不收敛。一般来说从f(x)=0，构造不止一种，有的收敛，有的不收敛，这取决于的性态。方程x=的根，在几何上就是直线 y=x与曲线y=交点的横坐标,如图2-3所示。 （a） （b） （c） （d）图2-3中(1)、(2)收敛，(3)、(4)发散。 三 迭代法收敛的条件定义1 如果在根的某个邻域B=B，迭代过程，n=0,1,2，收敛，则 称迭代过程在附近局部收敛。定理1 设=()，在的某个邻域B内连续，并且q1，则对任何 B，由迭代公式决定的迭代序列收敛于。且-(3)-(4)证：由拉格朗日中值定理，存在B，使由已知q,从而得-q- 所以这样我们就证明了收敛于。再由拉格朗日中值定理，存在，使=()所以qq (5) 又由于=()+() +()+所以(q+q+q+1)=令p+,有-也即- 这样(4)式得证。再由(5)得- 这样(3)式也得证。这个定理是一个很实用的收敛定理。一方面它可以判定我们所构造的迭代函数是否收敛。另一方面(3)式还可以估计迭代次数。但结果偏保守，次数也偏大，实际中很少用。通常由(4)式，当(为给定精度)时，认为-