《2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第27讲_三角法与》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第27讲_三角法与（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,则1,正弦定理:,2,余弦定理:,.3,射影定理:,.4,面积: = = .A类例题例1在ABC中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断ABC的形状。分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。解 由条件c = asin(900 - B) = acosB = . ABC是等腰直角三角形。例2（1）在ABC中，已知cosA =，sinB =，则cosC的值为（ ）A B C D 解 C = p - (A + B),cosC = - co
2、s(A + B),又A(0, p),sinA = ,而sinB = 显然sinA sinB ,A B , A为锐角, B必为锐角, cosB = cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =.选A.说明 ABC中,sinA sinB A B . 根据这一充要条件可判定B必为锐角。（2）在RtABC中，C90，A，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，当为 时，的值最小。解答 由题意，R，r（其中a、b、c为RtABC的三条边长，c为斜边长）sin（）1，1当且仅当时，的最小值为1。例3 在ABC中，求证：B、A、C成等差数列。分析 由于条件等式是关于三角
3、形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A60,故应证A60。证明 由条件得sin（AB）sinC，sin（AB）sinCsinB，sinBsin（AB）sin（AB）2cosAsinBsinB0，cosA，A60B、A、C成等差数列。例4 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若，求角C的大小。解 由=cosB，故B=，AC=.由正弦定理有：，又sinA=sin(-C)=，于是sinC=cosC，tanC=1, C=。AC=,要求C需消去A。说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A、C的两个方
4、程链接1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。2利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知三边，求三个角；（2）己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。3解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么，求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。4研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进行边角转换。三角形中的边角
5、关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。情景再现1 ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.2ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且（1）求的值（2）设，求的值3 已知A、B、C是ABC的三个内角，y=cotA+.（1） 若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.B类例题例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC=，设
6、ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示S1和S2；（）当a固定，变化时，求取最小值时的角。解（1）设正方形边长为，则（2）当固定，变化时，令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o说明 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。例6如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且AOB=45,OE=1,EF=，设AOE=.（1）写出AOB的面积关于的函数关系式f(); （2）写出函数f(x)的取值范
7、围。解：（1）OE=1，EF=EOF=60当0，15时，AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45+)f()=SAOB=tan(45+)tan=当a（15,45时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=SAOB=OAOBsin45=sin45=综上得：f()= （2）由（1）得：当0，时f()= ,1且当=0时，f()min=；=时，f()max=1；当时,2，f（）=,且当=时，f() min=；当=时，f() max=所以f(x) ,。说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角函数的综合应用。例7 海中相距2海里的A、B
8、两岛，分别到海岸线（直线）的距离的海里和海里，现要在海岸线上建立一个观测站P，使APB最大，求点P的位置，且求APB的最大值。解 如图，过P作的垂线PQ交于，设，且，在直角梯形ABDC中，（过A作于）在中求出，设（）有最大值时，也有最大值。令，即时，LDBACLPALQL当时，有最大值，即有最大值，其值为1，的最大值为，点P在点D时，最大，最大值为。例8 某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最
9、短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以AOB=135.则|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设OAB=，则OBA=45.所以a=，b=，ab=，当且仅当=2230时，“=”成立.所以|AB|2=400（+1）2，当且仅当a=b，=2230时，“=”成立.所以当a=b=10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（1）.链接1.一方面
10、要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.3根据实际情景，选择适当的变量，建立目标函数，通过函数方法达到问题的解决。情景再现4 如图，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB = AC = a ，侧棱长均为2a，问BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少？5 如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，其中tan=。在距离港口O为a（a为正常数）海里北偏东角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛
11、，其中cos=。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。（1）求S关于m的函数关系式S(m)；（2）当m为何值时，补给最合适？C类例题例9若ABC的外接圆的直径AE交BC于D，则tanBtanC证 如图，作AMBC，ENBC，于是有 另一方面，注意到sinAsinBEC，tanAECtanB，tanAEBtanC因此tanBtanC 由、得tanBtanC例10 在ABCD的每个边上取一点，若以所取的四个点
12、为顶点的四边形的面积等于平行四边形面积的一半，则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边证 如图，设DAB，ADa，ABb由面积公式得SAKNAKANsin，SBLKBL（bAK）sin，SCLM（aBL）（bMD）sin，SDMN（aAN）MDsin，SABCDabsin于是 SLMNK SABCD（SAKNSBLKSCLMSDMN）absin1由SLMNK absin，得（ANBL）（AKMD）0故ANBL，或AKMD，也就是说LNAB或KMAD例11在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足BAECAF，作FMAB，FNAC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点证
13、明：四边形AMDN与ABC面积相等证 连结MN、BD，因为FMAB，FNAC，所以A、M、F、N四点共圆所以AMNAFN，AMNBAEAFNCAF90，即MNAD，SAMDNADMN又因为CAFBAD，ACFADB，所以AFCABD，所以，AFADABAC而AFsinBACMN，AF，所以SABCABAcsinBACAFADsinBACADMNSAMDH例12 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：GACEAC证 连结BD交AC于H，对BCD用塞瓦定理有：因为AH是BAD的角平分线，由角平分线定理有：故设BACDAC（），设GAC1，EAC2，由张角公式有：，于是，即sin1sin（2）sin2sin（1），所以sin1sincos2sin1cossin2sin2sincos1sin2cossin1所以sin1cos2cos1sin2，即sin（12）0，而1，2，所以120，即GACEAC情景
