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1、第一章质点运动学1-1质点作曲线运动，在时刻 t质点的位失为r，速度为v ,速率为v , t至（t t 路程为 s，位失大小的变化量为 r （或称 r），平均速度为v ,平均速率为v。（1）根据上述情况，则必有（B）时间内的位移为 r，(A)rsr(B)rsr，当t0时有drdsdr(C)rrs，当t0时有drdrds(D)rsr，当t0时有drdrds（2）根据上述情况,则必有（C )(A)vvj7v(B)vvjvv(C)vv侗v(D)vvjvv1-2 一运动质点在某瞬时位于位失r（x, y）的端点处，对其速度的大小有四种意见，即dr（1）巴；（2）dr；（3）ds .(4)J(dx)2(d
2、y)dtdtdtXdtdt下述判断正确的是:（D )（A）只有（1）(2)正确；(A)只有(2）正确（A）只有（2）(3)正确；(A)只有(3) (4)正确1-3质点作曲线运动,r表示位置矢量，v表示速度，a表示加速度，s表示路程，at表示切向加速度。/、 dv/、 dr/ 、dsv ； (4)dv(1) 一a ； (2)v ； (3)dtdtdtdt对下列表达式，即at下述判断正确的是（D）（A ）只有（1）（ 4 ）是对的；（A）只有（2）（ 4）是对的（A ）只有（2 ）是对的；（A ）只有（3）是对的1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（B ）（A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改
3、变（B）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变（C）切向加速度可能不变，法向加速度不变（D）切向加速度一定改变，法向加速度不变1-5有一质点作直线运动，其运动方程为x=6t -2t （SI制），试求:（1）第二秒内的平均速度；（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）质点作什么类型的运动？解：先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知23t =1s, X1=6X 1 -2 x 1 =4m23t=2s, X2=6x 2 -2 x 2 =8m第二秒内的平均速度为：-X2X1v把位移对时间求导,即得质点的速度dx dtt22t312t 6t2把t=3s代入上式,可得第三秒末的速度为v 12
4、 36 32=- 18m S 1把速度对时间求导,即得质点的加速度把t=1s代入上式， 质点作变加速直线运动。可得第一秒末的加速度为dvd丄 2丄12t 6t 12 12t dt dt2a=12-12 x 1=0m/s1-6已知一质点的运动方程为v2ti(2 t2)j (SI制)。(1)求出t 1s，和t 2s时质点的位矢； 解: (1)t 1s 时 r-j2ijm, t2s 时 r2 4i2j m(2)质点的运动的速度vdrvv2i 2t j m/s :dtvvv vt 1s 时 v12i2 j m/s, t 2s 时v22i 4 j m/s求出加速度。求出1s末和2s末的速度；(3)质点运
5、动的加速度应 2；m/s2dt1-7 一质点沿y轴作直线运动,其速度大小2vy 8 3t ，单位为SI制。质点的初始位置在 y轴正方向10m处，试求：(1)t2s时，质点的加速度;(2)质点的运动方程。解：根据题意可知,t 0s 时，v0 8ms1，y10m(1) 质点在t2s时的加速度ay为ay妝6tdt12ms(2)质点的运动方程y为dy vydt，两边积分y10dyt0(83t2)dt，因此 y 10 8t t3 m1-8某质点在xoy平面上作加速运动,加速度a 3vv2t j(m/s2)。在零时刻的速度为零，位置矢量r0 5im 。试求：(1) t时刻的速度和位矢;解：(1)t时刻的速
6、度v为dvadt(2)质点在平面上的轨迹方程。(3v 2tbdt，积分得vdv0t v v0(3i 2t j )dtv因此v (3tibms 1 ；t时刻的位矢r为drvdt(3tiv t2v)dtr积分得 drro1 ,3v3 j(3tv t2Y)dt，因此 r r。丄 3屛 -t3 j23|t2)v 3v23(2)由r的表达式可得质点的运动方程3+2x 5 t23消去两式中的t3y -33/2t，便得轨迹方程y 1 2(x 5) m3 31-9 一质点具有恒定加速度V (6丫V2V4j)(mgs )，在t=0时，其速度为零，位置矢量为 r010i (m)。求:(2)质点在xOy平面上的轨迹
7、方程，并画出轨迹的示意图。dv解：(1)由a v可得：dv adt两边积分：dtadtt V V0(6i 4j)dt注意到：V0 o可得:又由V.v竺可得dV Vdtdt两边积分:v dVrotVdt0t V V0(6ti 4tj)dt注意到：r010V(m)可得:V2V2 V2 V2Vr0 (3t2i 2t2j) 10 3t2 i 2t2j m(2)由运动学方程可得其分量式为：X t 10 3t2y t 2t2VV消去t ,得3y 2x 20，它为直线方程，如左图所示。这里由V 10i可得：t 0,x0 10 m , y0 01-10 一汽艇以速率V0沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力
8、而具有与速度V成正比且方向相反的加速度a kv,其中k为常数。求发动机关闭后,(1)在时刻t汽艇的速度;(2)汽艇能滑行的距离。(1)在任意时刻的速度和位置矢量;解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。(1)因为advdv可得一Vdtkv，积分得mVV0kt，即:ktvve(2)因为dvdv dsdvv kv，dsdtds dt发动机关闭后汽艇能滑行的距离为sVtAkdt，所以dvkdt，V0V 00s所以dvk ds， V0 ksV00Vc。k与0,可得同样结果。想一想其合理性。如利用ds vdt进行计算,t的积分上下限取1-11 一物体沿X轴作直线运动，其加速度akv2，
9、k是常数。在t 0时，v V0， x 0。(1)求速率随坐标变化的规律；(2)求坐标和速率随时间变化的规律。解：本题注意变量变换。(1)因为adv dv dx dt dx dtdv v -dx2v dvxkv，所以k dx 得lnYv V0V0kx，即kxvv0e（2）因为advdtkv2，所以v dvvkdt 可得 v v0 / (v0kt 1)又因为v空，所以dtxdx0tvdt0七一dt，可得0Vokt11xIn (wkt 1)k1-12潜水艇在下沉力不大的情况下,自静止开始以加速度Ae t竖直下沉（A 为恒量），求任一时刻的速度和运动方程。解：以潜水艇开始运动处为坐标原点,竖直向下为正
10、方向。按质点运动的加速度的定义式dv adtdv= adt = Ae tdt根据题目的初始条件，积分vtdx Ae tdt0可得潜水艇在任意时刻的速度为A1再根据速度的定义式dxdtdxvdt1e t dt积分xdx0t dt得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程为At1-13已知质点作半径为 R 0.10m的圆周运动,其角位置与时间的关系为32 4t (其中的单位为rad，t的单位为s）。试求：（1）当t 2s时，角速度和角加速度;(2)2s时，切向加速度at和法向加速度an 。解：（1）质点的角速度及角加速度为当t 2s时,ddt2 112 2 rad gs 48rad gs12t2，d
11、dt124t242rad gs 248rad cs 2（2）质点的切向加速度和法向加速度为at R24Rt，anR 2144 Rt4当t 2s时,atR 240.12 22mgs 4.8m gsan 144 0.124 mgs 2230.4mgs 21 . 1-14 一球以30m.s-的速度水平抛出，解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为试求 5s钟后加速度的切向分量和法向分量。xVot将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为dx dt dy dt評t)Vo伙1gt2)gt因而小球在t时刻速度的大小为v 賦VJI 22-v0（gt）故小球在t时刻切向加速度的大小为atdvdtdtvr(gt)2g2t.vO(gt)2由因为小球作加速度a=g的抛体运动，所以在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足:g an a且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为:ang2a2gVo代入数据，得v2 （gt）29.82 5302一(9.8一5)28.36m S 2， an9.8 30302(9.8 5)25.12m S在计算法向加速度时，可以先写出它的轨迹方程，再算出曲率半径和速度大小，最后算出法向加速度。 但是
