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圆锥曲线题型归纳[经典含答案解析]

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圆锥曲线题型归纳[经典含答案解析]_第1页
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椭圆题型总结 <简单>一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙:的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 < B >A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点,且,若动点满足则动点的轨迹是〔 DA.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点,是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是< B >A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 椭圆上一点到焦点的距离为2,为的中点,是椭圆的中心,则的值是45. 选做:F1是椭圆的左焦点,P在椭圆上运动,定点A〔1,1,求的最小值解:7. <1>抛物线C:y2=4x上一点P到点A<3,4>与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________<2>抛物线C: y2=4x上一点Q到点B<4,1>与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为分析:〔1A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小〔2B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。

解:〔1〔2,连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为 即 y=2,代入y2=4x得P<2,2>,〔注:另一交点为<>,它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去〔2〔过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q<>点评:这是利用定义将"点点距离"与"点线距离"互相转化的一个典型例题,请仔细体会8、F是椭圆的右焦点,A<1,1>为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点〔1的最小值为〔2的最小值为分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解:〔14-设另一焦点为,则<-1,0>连A,P当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-〔2作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=,∴∴当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为(二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k的取值范围,使方程表示圆,椭圆,双曲线〔略2. < C >A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆,所在的象限是〔 AA.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程所表示的曲线是椭圆的右半部分.5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程:〔1两个焦点的坐标分别为〔0,5和〔0,-5,椭圆上一点到两焦点的距离之和为26;〔2长轴是短轴的2倍,且过点〔2,-6;〔3已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,求椭圆方程.2. 简单几何性质1. 求下列椭圆的标准方程〔1; 〔2过〔3,0点,离心率为。

〔3椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是〔4椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为〔5已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点3.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若,则椭圆的离心率为_____________________〔四椭圆系————共焦点,相同离心率1. 椭圆与的关系为〔 A A.相同的焦点 B有相同的准线 C有相等的长、短轴 D有相等的焦距2、求与椭圆有相同焦点,且经过点的椭圆标准方程〔五焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于、两点若,则82. 已知、为椭圆的两个焦点,过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点,则的周长是 203. 已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为〔六焦点三角形的面积: 1. 已知点是椭圆上的一点,、为焦点,,求点到轴的距离解:设则解得,所以求点到轴的距离为2. 设是椭圆上的一点,、为焦点,,求的面积解:当,S=3. 已知点是椭圆上的一点,、为焦点,若,则的面积为。

4. 已知AB为经过椭圆的中心的弦,F为椭圆的右焦点,则△AFB的面积的最大值为cb〔七焦点三角形1. 设椭圆的两焦点分别为和,为椭圆上一点,求的最大值,并求此时点的坐标2. 椭圆的焦点为、,点在椭圆上,若,则2;120O3. 椭圆的焦点为、,为其上一动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围为4. P为椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点〔1若的中点是,求证:;〔2若,求的值解:〔1MO为三角形PF1F2的中位线,〔2=〔八与椭圆相关的轨迹方程定义法:1. 点M满足,求点M的轨迹方程〔2. 已知动圆过定点,并且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆,动圆与外切,与内切,求动圆圆心的轨迹方程.解:由题所以点的轨迹是:以,为焦点的距离之和为12的椭圆方程为4. 已知,是圆〔为圆心上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为5. 已知A<0,-1>,B<0,1>,△ABC的周长为6,则△ABC的顶点C的轨迹方程是直接法6. 若的两个顶点坐标分别是和,另两边、的斜率的乘积是,顶点的轨迹方程为相关点法7. 已知圆,从这个圆上任意一点向轴引垂线段,垂足为,点在上,并且,求点M的轨迹。

8. 已知圆,从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’,则线段PP’的中点M的轨迹方程是9. 已知椭圆,A、B分别是长轴的左右两个端点,P为椭圆上一个动点,求AP中点的轨迹方程10. 一条线段的长为,两端点分别在轴、轴上滑动 ,点段上,且,求点的轨迹方程.二、 直线和椭圆的位置关系 <一>判断位置关系1. 当为何值时,直线和椭圆 <1>相交;<2>相切;<3>相离解:由消去y得,判别式:所以,当时直线与椭圆相交;当时直线与椭圆相切;当时直线与椭圆相离2. 若直线与椭圆有两个公共点,则实数的取值范围为 <二>弦长问题1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、,过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为1) 求椭圆的方程;(2) 设椭圆C的一个顶点为B〔0,-b,直线交椭圆C于另一点N,求的面积解:由〔1点B〔0,,,直线BF2的方程为:消去y得:,解得所以点N的坐标为〔,所以<三>点差法1. 已知一直线与椭圆相交于、两点,弦的中点坐标为,求直线AB的方程.解:设交点,则有,〔2-〔1得即,又直线AB过点〔1,1所以直线AB的方程为:2. 椭圆C以坐标轴为对称轴,并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点,点R的坐标为〔2,5,若为等腰三角形,,求椭圆C的方程。

解:设椭圆,交点,为等腰三角形,,则解得Q〔1,3所以……〔1又则当,则有,则……〔2由〔1〔2得,椭圆的方程为当当,则有,则……〔3由〔1〔3得B=0〔舍去 <四>定值、定点问题1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值.证明:设交点由消去y得则有所以为定值<五>取值范围问题已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.〔1求椭圆的方程.〔2设直线与椭圆相交于不同的两点.当时,求的 取值范围解:设椭圆的方程为,右焦点〔c>0,椭圆的下顶点A〔0,-1,所以,又右焦点到直线的距离得所以,椭圆的方程为椭圆题型总结〔较难一、焦点三角形1. 设F1、F2是椭圆的左、右焦点,弦AB过F2,求的面积的最大值〔法一解:如图,设,,根据椭圆的定义,,,又,在ΔAF2F1和ΔBF2F1中应用余弦定理,得,∴,,∴令,所以,∴在上是增函数∴当,即时,,故的面积的最大值为.〔法二解:设AB:x=my+1,与椭圆2x2+3y2=6联立,消x得 <2m2+3>y2+4my-4=0∵ AB过椭圆内定点F2,∴ Δ恒大于0.设A,B,则 Δ=48=|y1-y2|==令 t=m2+1≥1,m2=t-1,则 =,t∈[1,+>f=在t∈[1,+>上单调递增,且f∈[9,+>∴ t=1即m=0时,ΔABF1的面积的最大值为。

注意:上述AB的设法:x=my+1,方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数,但又包含斜率不存在的情况,即m=0的时候在直线斜率不等于零时都可以这样设,往往可使消元过程简单化,而且避免了讨论2. 如图,M〔-2,0和N〔2,0是平面上的两点,动点P满足:<1> 求点P的轨迹方程;<2> 若,求点P的坐标.解:<1> 由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴 b=, 所以椭圆的方程为<2> 由得①因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,②将①代入②,得故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.由<Ⅰ>知,点P的坐标又满足,所以由方程组 解得即P点坐标为二、点差法定理在椭圆〔>>0中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.3. 直线l经过点A<1,2>,交椭圆于两点P1、P2,〔1若A是线段P1P2的中点,求l的方程;〔2求P1P2的中点的轨迹.解:〔1设P1、P2,则…………*∵A<1,2>是线段P1P2的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=4,∴,即。

∴l的方程为,即2x+9y-20=0.〔2设P1P2的中点M,则x1+x2=2x,y1+y2=2y,代入*式,得,又直线l经过点A<1,2>,∴,整理,得4x+9y=0,∴P1P2的中点的轨迹:4. 在直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.〔1求的取值范围;〔2设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:〔1直线的方程为由得:直线与椭圆有两个不同的交点,>0.解之得:<或>.的取值范围是.〔2在椭圆中,焦点在轴上,,设弦PQ的中点为,则由平行四边形法则可知:与共线,与共线.,从而由得:,由〔1可知时,直线与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数.三、最值问题5. 已知P为椭圆上任意一点,M〔m,0〔m∈R,求PM的最小值目标:复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线。

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