利用FFT计算卷积一.线卷积的作用及定义线卷积包括卷积积分和卷积和1.线卷积的作用 求解线性系统对任意激励信号的零态响应2•卷积积分y⑴円三—口，灼5）3.卷积和离散系统的时域分析是，已知离散系统的初始状态和输入信号（激励） ，求离散系统的输出（响应），两种方法：递推解法和离散卷积法卷积和：y(n) - x(m)h (n—m) =x( n)・・h( n)m…匕•:i圆周卷积的定义圆周移位：一周期为N的周期序列，可视为一主值序列在圆周上的循环移位周期序列在时间轴上转称为圆周移位右移左移m位时，对应的圆周序列则时域圆周卷积（循环卷积）N」y(n) =x(n) : h(n) ' x(m)hijn -m n Rn nm z0条件：两序列实现圆卷积的条件是：长度相等，如果不相等，可通过增补零值来 使之相等特点：卷积求和范围只在o乞m岂N -1有限区间进行；卷积时不作反褶平移，而 是反褶圆移步骤：量置换r反褶“圆移“相乘“求和三.两者的关系 有限长序列的圆卷积和线卷积的关系在一般情况下，两序列的圆卷积和线卷积是不相等的， 这是因为：线卷积是 平移,结果长度为L =Ni ■ N2 -1 ；而圆卷积是圆移，结果长度为L =2 =N2。
只有 在两卷积的结果长度相时，二者才有相同的结果解决方法是：在作圆卷积时， 通过加零的方法，使两序列的长度都增加到 L =Ni ■ N2 _1，此时，圆卷积的结果 和线卷积同四.利用FFT计算卷积工程实际需要解决的卷积：y(n) = x(n) “ h(n)，但其计算量很大而圆卷积为：y( n) =x( n) ： h( n)，便于采用FFT算法,故计算速度快若将 线卷积的两个序列用增补零的方法将长度取为一致，此时两序列的离散线卷积和 圆周卷积结果是相等的，这样就则可以通过圆卷积来快速计算线卷积1、 利用FFT计算卷积的步骤(1) 设两序列原长度分别为：N和M,将长度增加到L _N • M _1 (L为2的整 数次幕)；(2) 用FFT法求加长序列的DFT频谱；(3) 计算两序列DFT频谱的乘积；(4) 用IFFT求DFT频谱乘积的逆变换，便得两序列的离散线卷积2、 分段快速卷积设x(n)为长序列，h(n)为短序列，长度为 M，则两序列的离散线卷积可以写成如下形式 ，N -12N -1(K 1) n _1y(n)-x(n) h(n) - ' x(m)h(N-m) ' x( m)h (N-m)亠 亠.1 x(m)h( N - m)m -0mm上述每个子段长度为N。
为便于圆卷积计算，将长度通过补零加长为：L 二 N M -1x(n).ith(n)Ml n根据各子段xk n增补零的部位不一样而分两种算法(1) 重叠相加法在各子段Xk n的尾部增加M — 1个零，则前一子段的尾部与后一子段的首部有M- 1个项是重叠的，对重叠部分的卷积须作相加计算，故称重叠相加法2) 重叠舍去法该方法是在各子段的首部增加项数，其中第一子段前部增补 M-1个零，而以 后的各子段，其前部不是增补零，而是重复利用前一段的后 M-1个项此时，由 于各子段的前M-1个项重复采用了前一子段的后 M-1个项，卷积结果会产生局 部失真，因此，须将这前 M-1个项舍去，故称重叠舍去法。