第八章空间解析几何与向量代数教学目的：1 、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示2 、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向 量运算的方法4、掌握平面方程和直线方程及其求法5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关 系（平行、垂直、相交等）解决有关问题6、点到直线以及点到平面的距离7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋 转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程8、了解空间曲线的参数方程和一般方程9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程教学重点：1 、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2 、两个向量垂直和平行的条件；3 、平面方程和直线方程；4 、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5 、点到直线以及点到平面的距离；6 、常用二次曲面的方程及其图形；7 、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8 、空间曲线的参数方程和一般方程教学难点：1 、向量积的向量运算及坐标运算；2 、平面方程和直线方程及其求法；3 、点到直线的距离；4 、二次曲面图形；5 、旋转曲面的方程；§ 81向量及其线性运算一、向量概念向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时.常会遇到这样一类量.它们既有大小.又有 方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等.这一类量叫做向量.在数学上.用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大 小.有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 AB ,向量可用粗体字母表示.也可用上加箭头书写体字母表示.例如.a、r、V、F或才、了、寸、F.自由向量由于一切向量的共性是它们都有大小和方向.所以在数学上我们只研究与起点无关的向量.并称这种向量为自由向量.简称向量.因此.如果向量a和b的大小相等.且方向相同. 则说向量a和b是相等的.记为a = b.相等的向量经过平移后可以完全重合.向量的模 向量的大小叫做向量的模，向量a、a、AB的模分别记为| a|、团、扇.单位向量模等于1的向量叫做单位向量.零向量 模等于0的向量叫做零向量.记作0或零向量的起点与终点重合.它的方向可 以看作是任意的向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行，向量a与b平行.记作a 〃 b ,零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时.它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此.两向量 平行又称两向量共线类似还有共面的概念，设有k（k之3）个向量.当把它们的起点放在同一点时.如果k个终点和公 共起点在一个平面上.就称这k个向量共面.二、向量的线性运算1 .向量的加法向量的加法设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b.即c=a+b .三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则平行四边形法则当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形.从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的加法的运算规律(1)交换律 a叱=b+a ；2 2) 结合律(a +b) g=a+( bw).由于向量的加法符合交换律与结合律.故n个向量a . a2. an(n至3)相加可写成ai a2- ■ •，an.并按向量相加的三角形法则.可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点.相继作向量ai .a2..an.再以第一向量的起点为起点.最后一向量的终点为终点作一向量.这个向量即为所求的和负向量设a为一向量.与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量.记为-a.向量的减法我们规定两个向量b与a的差为b_a=b (-a),即把向量-a加到向量b上.使得b与a的差b-a,特别地.当b=a时.有a-aw (月)=0显然.任给向量AB及点O.有T T T T TAB =AO OB=OB-CA因此.若把向量a与b移到同一起点O.则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a 的差b-a .三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理.有| a+b| <| a| +| b| 及| a-b| <| a| 十| b| .其中等号在b与a同向或反向时成立.2 .向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a与实数九的乘积记作 柏.规定 柏是一个向量.它的模|?同=|九|| a| .它的方向当？>0 时与a相同.当X<0时与a相反.当0=Q时.|九a| =0.即拈为零向量.这时它的方向可以是任意的.特别地.当九二1时.有1a^a. ( -1)a=a.运算规律(1) 结合律 .(㈣ *(九a)=( 一邑)a ；(2) 分配律(九针)a=Aa+Na；■ （a b） = ■ a ■ b例1 ,在平行四边形ABCDK 设言=2.记=也试用a和b表示向量加、MB、MC、MD.其中M是平行四边形对角线的交点解 由于平行四边形的对角线互相平分.所以a^b=~AC=2AM*. gp -{abo) =2 MA .于是 MA = _g (a b).因为mC = -MA.所以诟W (a+b)，又因—a^="BD=2MD .所以而＞W (b-a).由于mB = —MD.所以而W (a-b),向量的单位化设aM.则向量且是与a同方向的单位向量.记为ea.|a I于是 a二| a| ea,向量的单位化设aM.则向量且是与a同方向的单位向量.记为ea. |a I于是 a = | a | ea ,定理1设向量a # 0 .那么.向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数九.使b =九a.证明条件的充分性是显然的.下面证明条件的必要性，设b // a.取囚=回.当b与a同向时取正值.当b与a反向时取负值.即b= a,这是因 |a|为此时b与a同向.且Ia| =| || a| 把同的，I a|再证明数的唯一性,设b=7a.又设b= a.两式相减.便得（ 一）a=0 .即|— || a| =0.I3|a| 新，故 |— |=0.即=.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴,设点。
及单位向量i确定了数轴Ox对于轴上 任一点P.对应一个向量op .由OP〃 i .根据定理1 .必有唯一的实数x.使OP=xi （实数x叫做轴上有向线段OP的值）.并知OP与实数x对应，于是点PH向量op = x i1实数x .从而轴上的点P与实数X有一一对应的关系，据此.定义实数X为轴上点P的坐标.由此可知.轴上点P的坐标为X的充分必要条件是OP = x i .三、空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k.就确定了三条都以为原点的两两垂直 的数轴.依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴).统称为坐标轴,它们构成一个空间直角 坐标系.称为Oxyz坐标系.注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x轴和y轴配置在水平面上.而z轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则，坐标面在空间直角坐标系中.任意两个坐标轴可以确定一个平面.这种平面称为坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面.另两个坐标面是yOz面和zOx面.卦限三个坐标面把空间分成八个部分.每一部分叫做卦限.含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限. 它位于xOy面的上方，在xOy面的上方.按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限 .在 xOy面的下方.与第一卦限对应的是第五卦限.按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八 卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.向量的坐标分解式：任给向量r .对应有点M.使OM =,以O泅对角线、三条坐标轴为棱作长方体.有T —f—f—f —f—f—fr =OM =OPPNNM=OPOQOR.、几三二1 . 二设OP=xi . OQ =yj , OR=zk .T则r =OM =xi yj zk .上式称为向量r的坐标分解式. xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量，显然.给定向量r .就确定了点M及OP=xi . OQ=yj . OR=zk三个分向量.进而确定了 x、y、z 三个有序数；反之.给定三个有序数x、v、z也就确定了向量r与点M,于是点M向量r与三个有 序x、v、z之间有 对应的关系TMl r =OM =xi yj zk — (x, y,z),据此.定义：有序数x、y、z称为向量r (在坐标系Oxyz)中的坐标.记作r=(x.y.z)；有序数x、y、 z也称为点M在坐标系Oxyz)的坐标.记为Mx . y.z) ‘向量r =OM称为点M关于原点O的向径,上述定义表明. 一个点与该点的向径有相同的坐标.记号(x . y . z)既表示点M,又表示向量OM .坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如 点M在yOz面上 则x=0 .同相 在zOx面上的点.y=0 ；在xOy面上的点.z=0,如果点M在x轴上.则y=z=0 ；同样在y轴上，有z=x=0； 在z轴上 的点.有x=y=0，如果点M为原点.则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性运算设 a=( ax. ay. az) . b=( bx. by. bz)即a=axi ayj azk b=bxi byj bzk则 a b=(axi ayj azk) (bxi byj bzk)二(a bx) i (ay by)j (az bz) k二(ax bx. ay by. az bz).a-b=(axi ayj azk) -(bxi byj bzk)二(ax-bx)i (ay-by)j (az-bz) k=(a-bx. ay-by. az-bz).1a= (axi ayj azk)=(ax)i ( ay)j ( az)k=(/ax，/'.ay „ . .az).利用向量的坐标判断两个向量的平行设a=(ax. ay. az)#0, b=(bx. by. bz).向量b//*b=>1a .即 b// o=^ (bx. by. bz) =74 ax. ay. az).于是曳=-^y-=—,ax ay az例2求解以向量为未知元的线性方程组<5x-3y=a .3 x -2 y=b其中 a42 .1 . 2) , b=(—1 . 1 . -2).解如同解二元一次线性方程组.可得x=2a-3b y=3a「5b .以a、b的坐标表示式代入.即得x=2(2.1 .2) -^(-1 . 1 . -2)=(7 , -1. 10).y =3(2.1 .2) -5(—1 .1 . —2) X11 ,-2.16).例3已知两点A(x1 . y1. z1)和B(x2. y2. z2)以及实数九41 .在直线AB上求一点M.使AM =九晶.4H t 父 父 t 父?由于 AM =OM -OA . MB =OB-OM .因此从而T T T TOM -OA」； (OB-OM ).1xi :■■■-x2。