高中立体几何问题的解法比较探究摘要：本研究首先结合国内外专家、学者、一线教师发表的论文和专著，提出自己的思考，然后对几何学的教育价值以及向量的进入中学的过程及教材内容的比较作研究综述，试图通过实例分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法的不同功能，探讨如何全面的看待综合法与向量法，以期使二者的积极功能得以体现，希望对向量理论融入立体几何课程的实践提供一些依据1、 引言2、 文献综述本文研究的是向量在高中数学立体几何中的应用，并结合综合法对其进行类比研究运用向量的平移、夹角、法向量等性质将立体几何中的点与线、点与面、线与线、线与面之间等问题转化为纯代数的问题，利用这种思想使问题简单化，以达到让学生能熟练地解决立体几何问题的目的3大纲》和《标准》中立体几何内容的比较研究文献[1]通过构建刻画课程难度的数学模型定量比较了《标准》与《大纲》中立体几何内容的难度，并得出了“与《大纲》相比，《标准》中立体几何部分内容难度大大降低”，文献[6]通过对《大纲》和《标准》中“空间向量与立体几何”的内容比较，认为《标准》进一步强调“空间向量”的工具作用和应用价值，鼓励学生更多的理解“几何代数化”的发展趋势，向量可以帮助学生建立“多元多维的几何认识”。
4.1.1立体几何部分教学内容比较与分析本文所研究的立体几何部分旧教材包括数学第二册(下B)的第九章，新教材包括数学2的第一、二章和数学选修2-1的第三章如表4-1所示：表4-1新、旧教材立体几何教学内容比较旧教材新教材第九章直线、平面、简单几何体9.1平面的基本性质9.2空间的平行直线和异面直线9.3直线和平面平行与平面和平面平行9.4直线和平面垂直9.5空间向量及其运算9.6空间向量的坐标运算9.7直线和平面所成的角与二面角9.8距离9.9棱柱和棱锥9.10球第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法通过比较，我们分析可得：1.新教材立体几何的教学内容与旧教材立体几何的教学内容相比有些差异单从上边看，高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了空间几何体的结构和空间几何体的三视图，旧教材立体几何没有这部分内容首先三视图这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形，通过空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把握空间几何体。
通过观察，学生可以感受空间几何体的整体结构，先从整体上认识空间几何体，再深入认识点、线、面之间的关系，这样与学生的认知规律相符合如在“空间几何体的结构”一节中，为了使学生能够更好的认识空间几何体的结构，教材要求对图中的图片进行分类，并制定了分类标准：注意空间几何体与平面图形的联系，观察空间几何体的每个面的特点，以及面与面之间的联系这样在对空间几何体进行比较的过程中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观认识3．空间向量知识的介绍新、旧教材有差别旧教材在“直线、平面、简单几何体”中对“空间向量及其运算”以及“空间向量的坐标运算”做了详细的讲解，这些内容在新教材数学2中的立体几何中没有介绍，而是放在选修2-1的第三章“空间向量与立体几何”中介绍分析其原因是旧教材重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力在过去的立体几何学习中，旧教材主要使用演绎推理来学习立体几何，培养学生的逻辑思维能力当空间的平行、垂直性质转化为向量表达式（共线、共面向量定理、内积运算）和向量运算后，学习重点就转移到用向量方法解决立体几何问题上来因为几何发展的根本出路是代数化，所以引入向量研究几何是几何代数化的需要使用旧教材的学生在高一已学习了平面向量，只要稍加推广就可以得到空间向量运算体系。
首都师范大学硕士学位论文新教材的安排也有其道理，因为高中上学期的学习没有提及过向量，本章的学习也只是几何初步的学习，有些公理的推理证明也不需要完全证明4．从整套新教材来看，几何教学的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的第一阶段新教材对立体几何知识做了初步介绍，介绍了柱体、锥体、台体以及球的表面积和体积，介绍了线面、面面平行和垂直的判断定理和性质定理，但没有完全给出证明二面角的求解和线线、线面关系的判定定理以及三垂线定理的证明等知识在第二阶段的“空间向量与立体几何”的学习中作了介绍旧教材中立体几何的学习因为集中在“直线、平面、简单几何体”一章中学习，所以比较深入的学习了这些知识，新教材在第一阶段只是做了初步的介绍4向量法求解立体几何问题的方法 4.1向量法解决平行问题的方法3.1.1 线线平行设a ,b 分别是两条不重合的直线a , b 的方向向量,则a ∥b a =λb(λ ∈R,且λ ≠0) .4.1.2 线面平行设直线L 在平面外,.a 是L 的一个方向向量,.n 是的一个法向量,则L ∥ a ⊥n a ·n = 0.4.1.3 面面平行设m ,n分别是两个不重合的平面,的法向量,则//m//nm =λn (λ∈R 且λ≠0) . 4.2向量法解决垂直问题 4.2.1线线垂直 设a ,b 分别为直线a , b 的一个方向向量,则a ⊥ba⊥b a ·b = 0.4.2.2线面平行设a为直线L 的一个方向向量, n 是平面α的一个法向量,则L ⊥αa∥n a =λn(λ∈R且λ≠0)4.2.3面面垂直设m ,n 分别为平面α,β的一个方向向量,则α⊥βm ⊥n m·n = 0.4.3向量法解决空间距离4.3.1两点间的距离 设空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的距离| d=|p1p2|= .4.3.2点线间的距离方法一： 点P 直线L ,设a 是直线L的一个法向量,在L上取点A , 在a上的投影为|OA|=, 则点P 到直线L 的距离d =|OA| =方法二：空间点到直线L的距离公式:设直线L的方程为点是直线L上的点，则空间点到直线L的距离为d=4.3.3点到面的距离方法一：设点平面π，平面π：Ax+By+Cz+D=0. 空间中点到平面π的距离公式: d=方法二: 设平面a 的斜线AO ∩a = O, n 是a 的一个法向量,则点A 到平面α的距离d =4.3.4线线间的距离方法一：设a ,b 分别是异面直线a ,b 的方向向量,n是a ,b 的法向量,在a ,b 上各取一点A ,B , 在n 上的投影方法二：空间中两异面直线L1和L2之间的距离公式设直线Li的方程为 （i--1,2）d= 4.4 向量法解决空间角问题 4.4.1线线角设异面直线a、b 的夹角为θ( 0°<θ≤90°) ，a 、b 分别为a , b 的一个方向向量,则cosθ =| cos < a ,b >| = 4.3.2线面角若直线a 与平面α 斜交于B 点，P 在直线a上，PA⊥α 于A，n为平面α的法向量，a 与α所成角为θ(0°≤θ≤90°)，则 sinθ=sin(-)=cos= 4.3.3二面角二面角α－L－β为θ(0°≤θ≤180°)，n为平面α的法向量，m为平面β的法向量，则cosθ=cos〈n ，m〉＝，那么向量n，m的夹角〈n，m〉就是二面角α－AB－β（或其补角）的大小。
到底是哪种关系要通过观察图形来确定若二面角是锐角，则选正的余弦值；若二面角是钝角，就选取负的余弦值，这种方法简单但容易判定失误鉴于这种情况，国内主要专业期刊有不少的文章进行了讨论并给出了解决方案，如文献[8,21,33,34]等下面是文献[21]给出的一种方法：首先明确一个概念：在二面角两个面内分别取一点，以这两个点为端点的线段的内点称为二面角的内点，二面角的内点的集合称为二面角的内部这样，我们就可以有二面角两个面的法向量对于二面角的内部“戳出”或“戳进”的概念，那么，二面角α-l-β的大小θ(0≤θ≤π)，与两个法向量夹角< n 1 ,n 2>=θ的大小必是互补(两个法向量都是“戳进”或都是“戳出”时，图3(a),(b))或者相等(两个法向量一个“戳进”一个“戳出”时,图3（c）)5综合法解决立体几何问题的方法5.1线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质:平行垂直直线a和直线b(1)同平行于直线c的两直线平行行(2)=b,a//,a (3)(4)a⊥,b⊥(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于a与b，则交线平行(1)a⊥b,b//ca⊥c(2)a⊥,ba⊥b(3)三垂线定理及其逆定理(4)a//,b⊥ a⊥b直线a (b)与平面(1) (2) (3) a,a⊥,⊥a//(1) a⊥m, a⊥n a⊥(2)a//b,b⊥a⊥(3)a//, ⊥a⊥(4) ⊥,, a, a⊥ba⊥(5) ⊥,⊥,a⊥平面与平面(1)若内的两条相交直线a,b都平行于，则//(2)⊥a,⊥a//(3)平行于同一平面的两平面平行(1) m⊥,m⊥(2) //,⊥⊥5.2综合法解决空间距离的方法 5.2.1异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。
或参考异面直线距离的8种求法 5.2.2点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或利用等体积法5.3综合法解决空间角的方法 5.3.1异面直线所成角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，再借助三角形的正、余弦定理求解5.3.2线面角：先求点到面的距离，然后解直角三角形5.3.3二面角：方法一：设二面角α- l - β的大小为θ(0°≤θ≤180°) ,a ,b 分别是平面α,β内且垂直于l 的向量,则θ = < a ,b > 或θ = π- < a，b > 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角6.例题分析例1在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCDPD =DC点E是PC的中点，作EF ⊥PB交于点F①求证：PA∥平面EDB.②求证：PB ⊥平面EFD.③求二面角C -PB -D的大小1）综合法思考过程①由“求证”想“判定”，要证线面平行，可以通过线线平行或面面平行来证明，这就要求学生对于定理的掌握灵活熟练，而且还应有一定的解题经验即使告诉学生“有了中点找中点，两点相连中位线”，有的还会看不出应作三角形PCA的中位线EO。
一方面是不能够从复杂的图形中分离出需要的基本图形，抓住主要矛盾；另一方面也需要通过教师的讲解形成学生的经验，这样就可以不断的提高学生读图的水平，消除观察障碍，使空间想象能力得到提升②垂直关系是空间元素间重要的位置关系，是高中数学知识的重点而线面垂直又是重点内容的核心，它与平行的问题、垂直的问题、距离和。