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1、丰富具身经验，培养量感素养-以北师大版数学教材四年级上册“角的度量”一课为例“角的度量”这部分内容属于义务教育数学课程标准（2022年版）（以下通称“新课标”）“空间与图形”领域中“测量”的内容。在学习此内容之前，从纵向来看，学生已经学习了“角的初步认识”，知道了角有大小，“角的大小与两条边张开的大小有关，与角的两条边长短无关”；从横向来看，学生已经学习了线段的度量，经历了建立长度单位表象、统一长度单位的过程。“角的度量”和线段的度量、面的度量虽然分布在不同的年级，但它们是具有内在联系的知识。角的度量本质就是用度量单位的个数描述角的大小，其关键在于找度量单位。这就需要教师让学生直观感知角有大小
2、及角的可测量属性，进而进行角的比较，并在描述角的大小过程中产生统一单位的需求，所以本节课应抓住“度量单位”这一核心概念统领教学。一、寻找度量标准的统一过程，形成具身经验统一性是计量的本质属性。测量长度需要一把“长度尺”，因为“长度尺”上有统一的长度单位。“角的度量”教学着力点不在于引出量角器，而是帮助学生引出角有大小，大小是由标准的个数所决定的。然而，角的大小非常抽象，因此，用学生熟悉的钟面作为载体，可唤醒学生已有的认知基础，变抽象为直观。动态的分针能让学生直观感悟角的动态生长，而钟面上的大格、小格就成了比较角的大小的参照物，这样的学习素材有利于学生自主生成多种方法去比较角的大小，自然生成“标
3、准”意识。师：观察主题图（见图1），小东和小丽上学路上所用的时间为分针扫过的两个角，你能比较它们的大小吗？【比一比】你能想到几种不同的方法来比较下面1和2的大小？【说一说】和组内小伙伴们分享自己的思考过程。第一小组用数格子的方法进行比较。生：我用“数大格”的方法，1是2个大格，2是3个大格还多，所以2大。生：我用“数小格”的方法，1是10个小格，2是18个小格，所以2大。师：用“大格”或者“小格”作为标准，谁含有的标准数多，谁就大。角的大小由标准的个数决定。第二小组用三角板上的角作为标准进行比较。生：我是用直角作为标准来量的，1比直角小，2比直角大，所以2大。生：我是用三角尺上的大锐角为标准来
4、量的，1等于大锐角，2比大锐角大，所以2大。生：我是用三角尺上的小锐角为标准来量的，1等于2个小锐角，2比3个小锐角大，所以2大。师：用三角尺的角作为标准，分别测量两个角的大小，再作出比较。第三小组用直尺量出角张开的距离进行比较。生：角的大小跟它两条边张开的大小有关，我们小组量出1张口的大小是3厘米，2张口的大小是5厘米，所以2大。师：比较1和2的大小，通过刚才三个小组的交流汇报，你有什么发现？生：比较角的大小，首先要确定一个标准。生：我想补充一点，标准越小，结果越精确。比如小格比大格度量的结果精确，小角比大角度量的结果精确。生：角的大小与两条边张开的大小有关，里面含有的格数越多，角越大。生：
5、大格对应的圆弧长，小格对应的圆弧短。师（小结）：角的大小与两条边张开的大小有关。在同圆中，大角对应的弧线长，小角对应的弧线短。我们要测量角的大小，在测量之前要用统一的单位进行度量。教师引领学生经历了理解角的内涵的不同层次：直观感知角有大小，角在钟面上开口变大，就是角变大了；寻找标准，用“小角”度量大角，用“数+单位”来描述角的大小。学生在寻找度量标准的统一过程中，不断累积具身经验，唤醒度量意识。二、经历单位量感的建构过程，发展度量意识数学结构化教学注重把概念的形成镶嵌于知识体系之中，以核心概念为中心，用思想方法建构起知识网络，通过横向联系知识实现旧知迁移，促进新知的学习。如度量长度，应使用一个
6、规定的长度作为长度单位，要知道一条线段的长度，就要看被测量的长度里含有几个这样的长度单位。对于二维空间里的角，教师要让学生感受到“描述一个角的大小，就是看大角里面含有几个小角”。因此，教师要引导学生借助钟面上的大格、小格所对应的角作为标准，来测量角的大小。【量一量】选择合适的标准角分别量出下面两个角的大小。3=（）个（）角 4=（）个（）角师：刚才同学们借助不同的“标准”进行比较，都得出2大于1，一起回顾一下，我们怎样测量物体的长度？生：我们创造长度单位1厘米、1分米、1米，用长度单位去测量。师：大家从中受到什么启发？生：量大长度用小长度作为标准，量大角要用小角作为标准。我们可以用钟面上一大一
7、小这两个角作为测量工具。师：我们把钟面上一大格对应的角称为大格角，一小格对应的角称为小格角，借助学具袋中的大格角和小格角，分别量出3和4各有多大。师：先来汇报你们是怎么测量3的，具体结果是多少。第一小组：我们小组测量到3等于2个大格角多一点儿、3个大格角少一点儿。第二小组：我们同时用大格角和小格角，3等于2个大格角和2个小格角。第三小组：我们全部用小格角，3等于12个小格角。师：大家在测量的过程中，用大格角和小格角结合起来测量，非常好，合适的是最好的。那4有多大？第一小组：我们小组用大格角和小格角都测了，都不正好。第二小组：我们小组测到1个大格角加半个小格角，或者全部用小格角测，是5个半小格角
8、。师：大家有没有听清楚？怎么出现了半个？生：1个小格角还大，我们把它对折，就正好，所以最后有半个。师：这个小组太厉害了，1个还大，继续细分，得到更小的单位。大家联系我们学过的长度单位，是否有所启发？生：我们可以找到一个很小的角，把它看作“1”，用这个“1”去度量角的大小，数一数就知道了。师：你真有想法。让我们一起看一下角的度量单位是怎样产生的。教师引入介绍：将半径旋转一周形成的角叫周角，规定为360度，把它平均分成360份，其中的1份就是1度的角。度是角的计量单位，用符号“”表示，如1度记作1。3（72）不能用大格去度量，只有用大格结合小格才能度量。4（33）用大格结合小格仍无法表达出角的大小
9、，学生从而产生继续细分的想法。学生在这样一步步的思维行进过程中认识到，角也像长度一样，要想知道一个角的大小，就要用统一的度量单位来测量；要准确测量角的大小，就要确定合适的度量单位。对于同一个大角，单位小角的不同，导致了对角的大小的描述不同，所以，单位小角还需要进一步完善，寻找一个单位小角的标准（1角）。学生在新旧知识的类比推理中实现正向迁移，自然生长出对1角的需求，为知识关联找到了认知通道。学生经历单位量感的建构过程，完善了认知结构，发展了度量意识。三、加强累加量感的感悟过程，精准完善量感量感在日常教学中往往被教师视作“规定”知识，直接告诉学生，从而掩盖了知识产生的过程，忽略了背后鲜活的体验。
10、在核心概念统领下的结构化教学中，教师应着力于激发学生在认知冲突中思考，引导学生经历标准量的建构、量角器的形成过程，把抽象的量感与具体的体验相结合，在积累丰富活动经验的基础上，将量感内化为稳定的表象。师：思考一下，测量长度，可以把长度单位累加形成长度尺，便于用来测量。是否可以借助这样的经验，创造出适合我们使用的量角工具？【创一创】在透明的半圆形胶片上创造出一个量角的工具，标出数据。教师课件演示：0刻度线出发，动态产生1角，1角通过累加得到5，10，30，60，90，180角。学生借助课件演示，体会每个角都是由若干个1角拼合而成的。师：观察量角器，你有什么发现？生：量角器是由1角不断累加而成的，与
11、长度尺不同的是，长度尺是从0刻度线依次往右不断增长的，而量角器的刻度线是旋转而成的，角的顶点一直不变，中心就是角的顶点。师（小结）：确定了角的计量单位，有了1角，读懂了量角器的构成，我们就可以准确地测量角的大小了。师：动手量一量3和4的大小，说一说，你是怎么测量的。生：角的顶点与量角器的中心对齐，一条边与0刻度线对齐，另一条边对着几，就是几度。3=72，4=33。师：请利用我们创造的量角器来测量一下5的度数。生：我测得5=120。生：5不可能大于90，因为它比直角小。5的一条边对齐180刻度线，不是对齐0刻度线，所以应该用180-120=60。生：我把量角器旋转了一下，一条边对齐0刻度线，我也
12、测量到是60。师：观察5，它与3、4。有什么不同？生：开口的方向不同，所以测量起来容易出错。师：人们在测量角的大小过程中，也发现了这个问题，怎样才能解决开口反向的问题？生：我们在外面再标一组数据，左边180度刻度线对应0刻度线，这样就可以“一尺两用”了。师：你和双向量角器的发明者想得一样。请大家拿出量角器，观察各部分组成。刚才，我们创造了量角器，积累了测量经验，接下来，请用我们学到的知识去估计一下生活中角的大小（见图2）。生：图2中的左图可以分成一个直角和一个锐角，锐角大约是90的一半，所以大约是135。生：图2中的右图，左边的锐角估测比直角少一个锐角，锐角大约是30的一半，所以估计75。右边
13、那个角用180减去75，大约是105。师：借助30，45，60，90等这些特殊的角进行估计，是估测的一个有效策略。下面请用量角器验证一下估测的结果。角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位小角”，这是学生理解量角器的逻辑基础。量角器的本质是“单位小角”的不断累加，用1累加成2，3，10，30学生在这个过程中，首先感受到角的有限可加，进而认识更多的度数，明白“度量的对象里包含了多少个度量单位就是多少度”。其次，所有这些角的顶点都重合在一个点上，而这个点就是量角器的中心点，同时也是角的顶点，这也为角的顶点与中心点重合找到了思维的根基。最后，在实际测量中，学生感受到了单边一圈量角器的不足，自然产生了完善量角器的需求，在外圈再反向（顺时针）标一圈刻度，让内圈刻度与外圈刻度完美对应，突破了量角器上两圈刻度读法的难点。教师再引导学生在量角器上找角、估角与量角、生活中找角，帮助学生加强对量的深度体验、对单位量的感知以及对累加量的感悟，形成了不同单位量的表象，拓展了度量单位，丰富了量感。量感的培养是一个较长期的、反复体验、不断矫正的过程，与学生个体的活动经验有关。学生能根据实际情况灵活地选择不同的度量单位进行度量，这是量感发展的最高境界。
