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1、盐 城 师 范 学 院毕业论文 年数学科学 学院 数学与应用数学（师范类） 专业班级 08（3） 学号 08211303 课题名称 函 数 的 极 值 学生姓名 刘 燕 云 指引教师 刘 红 艳 05月16日摘 要在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下怎么使“投入最小”、“产出最多”、“效益最高”等问题在生活中也常常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题因此解决这些问题具有现实意义这些经济和生活问题一般都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大（小）值的问题而极值的概念来自数学中的最大（小）问题故函数极值问题的探讨也具有了其重要意义求最值的思想灵活，措
2、施多样，使学生不易掌握，针对此问题，本文举例谈谈几种求法关 键 词极值 稳定点 驻点 hessian矩阵AbstractIn the period of industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting, we usually have to solve these problems such as how to make the minimum investment, produce more and get the highest efficiency
3、under some given situations. There always be the same situations in our lives. And so as to achieve the goal of having the maximum profit, costing the minimum material and making the maximum efficiency, its realistic to solve these problems. Both these problems , not only in economy, but also in our
4、 lives, can be transformed into function and discussed in Math, then it will be transformed into maximum value and minimum value. The concept of extreme value comes from the maximum and the minimum. Therefore, the study of the extreme value has come into big significance. There are flexible ideas an
5、d many methods in solving extreme values, however, its not easy for the students to grasp it. In order to solve this problem, there are several kinds of methods in this paper. Keywordsextreme values stable point stationary hessian matrix目 录1 运用导数求极值11.1运用一阶导数求函数的极值11.2运用二阶导数求函数的极值21.3运用二阶偏导数之间的关系符号判
6、断极值的类型31.4 元函数的极值问题42 求解有条件极值的常用措施62.1 代入法化为无条件极值问题62.2 拉格朗日乘数法求解82.3 运用梯度法求条件极值82.4 运用二次方程鉴别式的符号求某些条件极值 102.5 运用原则量代换法求函数极值 113 总结124 参照文献 13 函 数 的 极 值刘燕云1 运用导数求极值极值一般分为无条件极值和有条件极值两类无条件极值问题即是函数中自变量只受定义域约束的极值问题：有条件极值问题即是函数中自变量除受定义域约束外，还受其她条件限制的极值问题 运用一阶导数，根据函数极值的第一充足条件列表求函数的极值点定理111 （极值的第一充足条件）设在点持续
7、，在某邻域内可导1（1）若当时，当时，则在点获得极小值（2）若当时，当时，则在点获得极大值运用该定理求函数极值的一般环节是： （1）拟定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； （2）考察上述点两侧导数的符号，拟定极值点； （3）求出极值点处的函数值，得到极值 例1 求的极值点与极值 解 在上持续，且当时有，易见，为的稳定点，为的不可导点讨论这两点与否是极值点，列表如下：不存在递增递减递增由上表可见：点为的极大值点，极大值；为的极小值点，极小值12 运用二阶导数，根据函数极值的第二充足条件列表求函数的极值点定理121 （极值的第二充足条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，（1
8、）若时，则在获得极大值；（2）若时，则在获得极小值1 运用该定理求函数极值点的一般环节是： （a）拟定函数定义域，并找出所给函数的所有驻点； （b）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，拟定极值点从而求得极值 例2 求的极值点与极值 解 当时令，求得稳定点又因，依定理121，为的极小值点，极小值由上述定理111和定理121可知，极值的这两个充足条件在解决极值问题时各有独到之处，定理111充足运用了函数单调性的特点，从函数图形来研究函数的极值，容易被读者接受，但是求解过程过于繁琐；定理121充足运用二阶导数，计算起来比定理111简捷，容易运算，诸多时候，我们选择用定理121来求解函数的极值点，但定理
9、121读者不容易理解和记忆因此在将这两个充足条件专家给学生时，要注意将这两个定理自身的内容解释清晰 同步，人们可以看到，从理论上讲，如果函数“光滑”，那么它的极值点可以根据定理111和定理121拟定，于是求的极值问题就转化为求该函数一阶导数的零点问题显然，这种措施只能解决完全“光滑”的函数13 运用二阶偏导数之间的关系符号判断极值的类型定理131 （二元函数极值充足条件）设二元函数在点的某邻域内具有二阶持续偏导数，且是的稳定点则当是正定矩阵时，在获得极大值，当是不定矩阵时，在不取极值2根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规定，上述定理又写成如下比较实用的形式：令，则在处与否获得极值的条
10、件如下：（1）当，时，函数在点处获得极大值；（2）当，时，函数在点处获得极小值；（3）当时，函数在点处没有极值；（4）当时，函数在点处也许有极值，也也许没有极值极值的求法：第一步 解方程组，求得一切有序数解，即可得一切驻点第二步 对于每一种驻点，求出二阶偏导数的值和第三步 定出的符号，按定理131的结论鉴定与否是极值、是极大值还是极小值注 对于二元函数，在定义域内求极值这是一种比较合用且常用的措施，但是这种措施对三元函数及更多元的函数并不合用；时也许有极值，也也许没有极值，还需另作讨论；如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点固然不是驻点，但也也许是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应考虑进
11、去例3 求函数的极值 解 （1）一方面求二元函数的偏导数，（2）然后解方程组， 得到驻点和（3）列表进行判断：驻点的符号（4）求二元函数的极值综合以上得出结论是二元函数在点处获得极大值，在点处不存在极值，即二元函数的极大值注 不是驻点也也许是极值点，例如函数在点处有极大值，但不是函数的驻点因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑14 元函数的极值问题定义141 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶持续偏导数记， 称为函数在点处的梯度定义142 满足的点称为函数的驻点定义143 ，称为函数在点处的黑塞矩阵显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称
12、矩阵定理141 (极值存在的必要条件)设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则定理142 (极值的充足条件)设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶持续偏导数，且，则 (1)当为正定矩阵时，为的极小值； (2)当为负定矩阵时，为的极大值； (3)当为不定矩阵时，不是的极值注 运用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一种较好的措施，但也有一定的局限性，由于充足条件对正定和负定的规定是很严格的，若条件不满足，那结论就不一定成立 例4 求三元函数的极值解 先求驻点，由 ， 得因此驻点为由于，因此，是正定的，因此在点获得极小值2 求解有条件极值的常用措施2 代入法化为无条件极值问题从一道错误
13、的例题谈条件极值的代入法3 例5 某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一种工厂生产单位产品和第二个工厂生产单位产品时的总成本是，若公司的生产任务是个单位产品，问如何分派任务才干使总成本最小?解 根据题意，是求函数在条件下的极值作辅助函数，令 ，解得，因此根据题意知，当第一种工厂生产个单位产品、第二个工厂生产个单位产品时总成本最小”上述解法，粗看起来好象没有什么毛病，但却是经不起推敲的简朴的验证可知，本例求出的总成本为，但却不是最小，譬如，就比求得的“最小值”小了事实上，点不是最小值点究其因素，重要是解题措施选择不当导致的我们懂得，求解自变量不超过三个的条件极值问题，既可以用拉格朗日乘数法，也可以用代入法用拉格朗日乘数法虽然很以便，但极值点的鉴定却比较麻烦对这个问题，几乎所有的教材都没有作出正面的回答，只指出了用这种措施求出的极值点是“也许的”极值点，“至于如何拟定所求得的点与否为极值点，在实际问题中往往可根据问题自身的性质来鉴定”然而许多实际问题中，根据
