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1、 你的首选资源互助社区例1 判定以下关系是否正确(2)1，2，33，2，1 (4)00分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0的集合非空例2 列举集合1，2，3的所有子集分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个含有1个元素的子集有1，2，3；含有2个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有3个元素的子集有1，2，3共有子集8个_分析 A中必含有元素a，b，又A是a，b，c，d真子集，所以满足条件的A有：a，b，a，b，ca，b，d答 共3个说明：必须考虑A中元素受到的所有约束 分
2、析 作出4图形答 选C说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便 点击思维 例5 设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x54aa2(2a)211，y4b24b2(2b1)211，所以它们的值域是相同的，因此AB答 选A说明：要注意集合中谁是元素M与P的关系是 AMUPBMP分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：MUNU(UP)P；三是利用画图的方法答 选B说明：一题多解可以锻炼发散思维例7 下列命题中正确的是 AU(UA)A分析 D选择项中AB似乎不合常规
3、，而这恰恰是惟一正确的选择支是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素AB答 选D说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意例8 已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7答 C4或7或4，7说明：逆向思维能力在解题中起重要作用例9 设S1，2，3，4，且MxS|x25xp0，若SM1，4，则p_分析 本
4、题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM1，4，M2，3则由韦达定理可解答 p236说明：集合问题常常与方程问题相结合例10 已知集合S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求a的值S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足在(1)中，由得a0依次代入检验，不合，故舍去在(2)中，由得a3，a2，分别代入检验，a3不合，故舍去，a2能满足故a2符合题意说明：分类要做到不重不漏 AMNDM与N没有相同元素分析 分别令k，1，0，1，2，3，得答 选C说明：判断两个
5、集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）A过直线外一点作与该直线垂直的直线B过直线外一点与该直线平行的平面C过平面外一点与平面平行的直线D过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行C过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面所以过平面
6、外一点与平面平行的直线应有无数条D过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，又由于、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾故选D说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这
7、个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的是（ ）A（1）、（2） B（2）、（3） C（3）、（4） D（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂
8、直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性故选D说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且，求例3 如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：平面分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直证明：连结、，在中，分别是和的中点，面，为在面内的射影又，同理可证，又，、面，平
9、面，平面另证：连结，设正方体的棱长为，易证又，在正方体中易求出：，、平面，平面说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用例4 如图，在中，平面，点在和上的射影分别为，求证：分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平面，而已知，所以只要证即可由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直证明：面，平面，即，平面平面又，平面平面，又，平面平
10、面另证：由上面可证平面为在平面内的射影，说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想如何证：已知所在平面，为的直径，为上任意一点（与不重合）过点作的垂面交、于点，求证：例5 如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，求证：分析：本题考查的是线面角的定义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理证明：过点作垂直于点，连，在平面内射影为，在中有：
11、 在中有： 在中有： 由、可得：说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为例6 如图，已知正方形边长为4，平面，分别是中点，求点到平面的距离分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等证明：连结，和分别交于，连，作于为正方形，分别为的中点，为中点，平面，平面与平面的距离就
12、是点到平面的距离，面，平面平面，又，平面即长就是点到平面的距离正方形边长为4，在中，在中，说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下列证法：延长交的延长线于，连结，作于，作交于，连结，再作于，可得平面，长即为点到平面的距离二是转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式例7如图所示，直角所在平面外一点，且(1)求证：点与斜边中点的连线面；(2)若直角边，求证：面分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直证明：(1)在等腰中，为中点，取中点，连、，又，面，面（、是面内两相交直线）(2)，又面，面说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等例8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：，求证：分析：由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与垂直即可证明：如图所示，在平面内作两条相交直线、，又，从而有，由作图知、为内两条相交直线说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直
