第二节群表示的基及群的表示一、基本概念1、基:群元素作用的对象称为与它相应的 群表示的基基可以有各种类型，如矢量（x，y，z） 波函数（Px， py， pz）2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子 点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应， 这些矩阵构成的矩阵群可以看作是 点群的一 个表示群的表示不是唯一的二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示 1）定理：设一组矩阵（E,A，B，C…）构成一 个群的表示若对每个矩阵进行同样的相似 变换:E'=X-1EXA=X—1AXB'=X-1BX则（E‘，A , B ' ••…）也是群的一个表示证明(封闭性)：若AB = CAB = (X—1AX)(X-1BX) = X — 1A (XX-1)BX=X — 1 (AB)X = X — 1CX = C '2）可约表示：若能找到矩阵X可把（A、B、C…）变换成（A '、B'、C '…）而（A、B'、C、••分别为划分为方块因子的矩阵•A1A2，A3 IA，= X-1AX =若每个矩阵A , Bf, C ,…均按同样 的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对 应方块可以单独地相乘：Ai'Bi'=Ci‘A2‘B2'=C2‘A3'B3‘=C3‘Ci，, •…因此各组矩阵Ei\ A1： BJ,E2： A2；B2‘ , C2,…本身都是一个群的表示因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一 个新矩阵,所有新的矩阵按照同样的方式给 出两个或多个低维表示。
因此我们称(E,A , B, C,…)为可约表示2、不可约表示若找不到矩阵X,按照上述方式约化给 定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约 表示不可约表示具有特殊的重要性三、广义正交定理1、向量的正交1）向量及其标积 向量的定义： 向量标积：BA ・ B = A ・ Bcos 02）向量正交若A • B = 0，则称A与B正交.* p维空间中的一个向量可借助于它在该空 间中的p个正交轴上的投影长度来定义据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p维正交空间中：A • B = (A1+A2+ …+Ap ) - (B1+B2+ …+Bp)=A1B1+A2B2+ …+ApBppAiBii 1因此在p维空间中两个向量的正交可表 示为：AiBii 1隹论：一个向量的长度平方可写成A2 = A • AcosO = A • AAi2、广义正交定理（有关构成群的不可约表示 矩阵元的基本定理）1）广义正交定理：h ~群的阶；h ~该群第i个不可约表 示的维数，也是该表示中矩阵的阶 ;R〜 群中的某个操作；r i（R） mn〜在第i个 不可约表示中，与操作R对应的矩阵中第m 行和第n列的元素•最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。
[r(R)mn][ r(R)m'』RmmS st = 1 ( S=t)0 ( SM t)R3RiR2aiiai2ai3C13r ia2ia22a2』C23C33—a3ia32 a3jX11X12Z12r jX21X22biibi2bi3C11C12b2ib22323C21C22b3ib32b33C31C32yiiyi2Z11y2iy22Z21Z22在一组不可约表示矩阵中，若将任意一 组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是 h维 空间中的某一向量的分量，则所有这些向量 都相互正交，且这些向量长度的平方为（h/li）.2）广义正交定理的特殊形式广义正交定理可以简化为三个较简单的 情况：A、若i工j,则[r(R)mn][ r(R)m'nj 0R表明,选自不同不可约表示的向量是正交的B、若i=j，且 m丰m', 或 n半n', 或同时 m 丰m , n丰n'[口但忘][r(R)m'n']* 0R表明，选自同一不可约表示的不同向量 也是正交的.hliC、若 i=j , m=m , n=n'，贝U[r（R）mJ[ r（R）mJR表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/li四、可约表示的约化及表示的直积1、不等价不可约表示 1）等价表示：在点群的表示中，如果有两个 表示，它们关于任何同一对称操作的两个表 示矩阵A和B是共轭的，即存在一个方阵X, 使X—1AX = B成立，则这两个表示是等价的，兴一个表示中各矩阵的迹称为该表示的 特征标。
2）不等价不可约表示：如果两个不可约表示,它们每个对称操作的两个特征标不完全相等 时,则这两个不可约表示是不等价不可约表 示2、群表示的几条重要性质1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中 类的数目2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于 群的阶2 2 2li l1 l2 ... h3) 任一不可约表示的特征标的平方和等于 群的阶[Xi(R)]2 hR4) 以两个不等价不可约表示的特征标作为分 量的向量是正交的.Xi(R) x(R) 0 (i j)5）在一个给定表示中，所有属于同一类操 作矩阵的特征标相等3、不可约表示特征标的求法1）主要利用上述规则①不可约表示的数目=类的数目li2ll[x(R)]2 hRXi(R) Xj(R) 0 (i j)1的一⑤同类操作特征标相等⑥每个群均有一个特征标均为维不可约表示，叫“完全对称表示”2）例 1: C2V 群｛ E, C2,a v, a v'｝每个元素自成一类由①:有四个不等价不可约表示由②：l 12+|22+|32+|42=h=4由⑥：不妨令11=1,则只有唯一解11=12=1 3=14=1再考虑⑥，则有下述结果：C2vE C2(X v(X vr iiiiir 2iX22X23X24r 3iX32X33X34r 4iX42X43X44由③：12 + Xi22 + Xi32 + Xi42 = 4 (i= 2,3,4)只有唯一解 | Xi2| = | Xi3 | = |Xi4=1由④：只有如下唯一解C2vEC2(X vX v 'r i1111r 211-1—1r 31—11—1r 4 1 —1-1 1例 2：C3V 群{E，C3, C32, d v , (7 v ； (T v "},分为三类{ E, 2C3, 3tv}由①:有三个不等价不可约表示。
由②：ll2+|22+|32=6由⑥：不妨令li=1，唯一解li= 12 =1,3=2再考虑⑥，则有C3vE2C33 (T vr 1111r 21X22X23r 32X32X33个人收集整理勿做商业用途由③：12 +2X222+3X232=6由④：1 X 1+2 X 1 X X22+3 X 1 X X23 =0由上两式得：X22=1 , X23= — 1由④：1 X 2+2X 1 x X32+3X (-1)X X33=01 x 2+2 x 1 x X32+3 x 1 x X33=0由上两式得：X32=-1 , X33=0最后结果:C3vE2C33(T vr i111r 211—1r 32-104.特征标表特征标表：将点群的各不等价不可约表示的特征标连同不可约表示的基归在同一表中，则称此表为点群的特征标表例:C3vE2C33 a vAi111zx2 + y2, z2A211-1E2-10(x, y)(x2—y2, xy)(x z, yz)I II III1）左上角为群的熊夫里（Schonflies）符号2）横线下面以慕利肯（Mulliken）符号表示 出各不等价不可约表示：A、B代表一维表 示；E 代表二维表示； T 代表三维表示;3）区域II横线上面是点群的各类，每个类 由一个符号表示，前面的数字表示该类元 素的数目。
横线下面表示出各类的各不可约表示的特征标2）在区域III中，给出了各不可约表示的 基例如，属于不可约表示 Ai的基有z、x2 + y2 及 z25、可约表示的约化对于任何相似变换，矩阵的特征标是不变 的，因此一个可约表示的特征标必等于由它 约化得到的各不可约表示特征标之和，即(R) a」j(R)Ai‘ A2 2A3A f = X-1AX =x (R)是与操作R相对应的可约表示矩 阵的特征标；aj表示可约表示被必要的相似 变换完全约化时，组成第j个不可约表示的 方块沿对角线出现的次数用x i(R)去乘两边，然后对操作求和R) i(R) aj j(R) i(R) aj j(R) i(R)R R j j Raj j(R) i(R) ajh j ajhR iai(R) i(R)R因此只要知道每个表示的特征标，就可知道第i个不可约表示在可约表示中出现的 次数例：C3vE2C33 (T vr 1111r 211-1r 32—10r a52—1r b713求 r a = ?ai=1/6 ・[1 x 5 + 2X 1X 2 + 3X 1 x (-1) ] = 1a2 =1/6 -[1 x 5 + 2x 1 x 2 + 3x (— 1) x (— 1) ] = 2a。