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1、数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列;(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4,111112 3 4 5S (n 1)Sn Sm(n2)例：已知数列an的前n项和sn2n2 3,求数列an的通项公式(3)数列的函数特征与图象表示:序号：1 2 3 4 5 6(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1
2、) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差数列an 2n 1 , an an 1题型二、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ； 等差数列(通常可称为 AP数列)
3、的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a11,公差d 3的等差数列，如果an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670题型三、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么a bA叫做a与b的等差中项。其中 A -ab2a, A, b成等差数列A 土上即:22an 1 a n an 2(2anan m an m)例：1.设an是公差为正数的等差数列，若aa2a315 , a1a2a
4、3 80 ,贝U a11 a12 a13A. 120. 105c. 90. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列an中,an am (n m)d , dan am /(m n);n m(4)在等差数列an中,ana paq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式:Snn(a an)na1n(n 1)d/ d、(a1一)2(Sn An2 Bn(A,B为常数
5、)an是等差数列递推公式：Sn(a an)n(am an (m 1) ) n2例：1.如果等差数列an中,a3a4a512 ,那么a1a2a7(A) 14(B) 21(C) 28(D)352.设Sn是等差数列a的前n项和，已知a23a611 ,则S7等于（A. 13 B633.设等差数列an的前n项和为Sn,若S9 72,则a2a4a9 二4.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146且所有项的和为A.13 项B.12 项C.11 项390,则这个数列有（）D.10 项S5.设等差数列 an的前n项和为Sn,若% 5a3则二S56.已知an数列是等差数列,a1010,其前10项的和
6、Sio 70,则其公差d等于（）2A. 一3C.2D. 3S的前 n4. （06全国II ）设&是等差数列an的前一 4 S3n项和，右S63,则S6S127.设 an为等差数列，&为数列 an的前n项和，已知 S = 7, S5=75, Tn为数列n项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn,S2nSn, S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和为。3.设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14, Si0 S7 3
7、0,贝|JS9 =8D-题型七.判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法：an 1 an d（常数）（n N） an是等差数列中项法：2an1 an an 2（nN） an是等差数列通项公式法：ankn b（k,b为常数） an是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn（A,B为常数）an是等差数列例：1.已知一个数列an的前n项和Sn2n2 4,则数列an为（A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列 an的前n项和Sn22n ,则数列an为(D.无法判断A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列3.数歹U an 满足 a1 =
8、8, a42,且 an 2 2an 1an 0 ( n N )求数列an的通项公式；题型八.数列最值2an bn的最值;（1）4 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时，Sn有最小值;（2） Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数 Sn可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:,an 0an右已知an,则Sn最值时n的值(n N )可如下确定或an i 0an i例：1.等差数列an中，ai 0, S9 S2,则前项的和最大。2 .设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a312,S120,S130求出公差d的范围，指出Si, S2, S12中
9、哪一个值最大，并说明理由。3 .已知an是等差数列，其中a1 31,公差d8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.题型九.利用a”S1 (n 1)求通项.nSn Sn1 (n 2)1 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1,则22 .设数列an的前n项和为Sn=2n ,求数列an的通项公式；13 .已知数列 an 中，a13,刖 n和 Sn(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式4 .设数列an的前n项和Sn n2,则a8的值为()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比数列等比数列定义：
10、一、递推关系与通项公式递推关系：an 1 anq通项公式：ana1 qn 1推广：an am qn m1 .在等比数列 an中，a1 4,q 2 ,则an3.在各项都为正数的等比数列an中，首项ai 3,前三项和为21,则a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bJOB,注：b2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 ，3和2 J3的等比中项为()(A)1 (B) 1 (C) 1 (D)2三、等比数列的基本性质，(1) (1)若m n p q,则 am an ap aq (其中 m,n
11、,p,q N )(2) qn m a-，an2 an m an m (n N ) am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 ()5.2-11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比数列 an 中，a a633, a3a4 32, anan 1求an若 Tnlg a lga2lgan,求Tn3 .等比数列an的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则 log3a log3a2 log3a10()A . 12
12、B . 10 C . 8 D . 2+log35nai(q 1)四、等比数列的前 n项和，Sna(1 qn) a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比q 2,则其前n项和Sn2 .设等比数列 an的前n项和为Sn ,已a2 6, 6a1 a3 30 ,求an和Sn3 .设 f(n) 2 24 27 210 川 23n10(n N),则 f(n)等于()A.2(8n 1)B.|(8n11)C.2(8n 31)D.|(8n4 1)五.等比数列的前n项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*,那么Sk ,S2kSk，S3kS2k成等比数列例：1.一
13、个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知数列an是等比数列，且 Sm10, S2m 30,则S3m六.等比数列的判定法a(1) TE乂法： q (常数)an为等比数列；an2 中项法：an 1an an 2(an 0)an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k, q为常数)an为等比数列；(4)前n项和yt： Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。Sn k kqn (k,q为常数)an为等比数列。 (n 1)七.利用an,求通项.& Sn1 (n 2)1例：1.数列an的刖n项和为8b且a1=1, an 1- Sn, n=1, 2, 3,求a2,用a4的值及数列3an的通项公式. *2.已知数列 an的首项a1 5,前n项和为Sn,且Sn1 Sn n 5(n N ),证明数列4 1是 等比数列.求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26,求an；2.已知数列an满足a1 2,an an 1 1(n 1),求数列an的通项公式;3. 数列an满足a=8, a42,且an 2 2an an 0 (n N ),求数列an的通项公式;114.已知数列an满
