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1、第二章 推理与证明(A)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60分) 1下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子的颜色 应该是()B.黑色D.黑色可能性大AC白色 白色可能性大已知扇形的弧长为面积公式S扇等于(扇r22lr22AC3 A C4l，半径为r,类比三角形的面积公式：5=底严，可推知扇形BD.不可类比设凸n边形的内角和为f(n)，则f(n+1)f(n)等于() nnB. (n2)nnD. 2n观察下列数表规律则从数2 010到2 011的箭头方向是()B.2 010AC2 010tI2 010D.
2、2 010I对于定义在数集R上的函数f(x),如果存在实数x,使f(x0)=x0，则x叫函数f(x) )5.的一个不动点已知f(x)=x2+2ax+1不存在不动点，那么a的取值范围是( B. (-2，-92 DAC7a2 (a2), q=2a2+4a2 (a2)，贝U()pqBp1 aba bb.等于nD.等于 n(n +1)a=:c+1_：c，b = pc一勺c一 1,B. abD大小不定则正确的结论是()9.设a 是由正数组成的等比数列，S为其前 于()A 15A丁n项和.已知a2a4=1, S3 = 7，则S5等31B 4B. f(cos a)(sin”) cos A + cos B0,
3、则必有(), nB. 0A+B2A. 0A+Bvnn ,C. 2A+Bf(cos )Cf(cos a)f(sin )12. 已知ABC中，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20 分) 13.观察：V7+VT52H； -j53+V1632Vn；-朽+V1?+2vn；.对于任意正实数a，b试写出使需成立的一个条件可以 .1 4若不等式 ( 1)na0”反设，所得命题为“”.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10分)已知a、b、c是不等正数,且 abc= 1 ，求证：寸a+、爲+ c1+b+1a b c18(12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否
4、成立(1) 如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2) 如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行x +x x x19. (12 分)已知函数f(x)(xUR),对于任意 X、2UR，等式f(x1) +f(x2) = 2f( 1 2 2)-f( 1 2 2) 恒成立，但f(x)不恒为0,求证：f(x)是偶函数.c 为何值时，等号成立21. (12分)先解答(1)，再通过类比解答(2)设xUR且fx+1)=*+罟，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论.22. (12 分)等差数列an的前 n 项和为 S”, a1 = 1+/2, S3 = 9 + 32.(1)求
5、数列an的通项a”与前n项和S”；Snnn设b”=y (nUN*),求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第二章 推理与证明(A)答案1. A 由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36=5 = 7余1,所以第36颗应与第1 颗珠子的颜色相同，即为白色2. C 由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.3. C 作凸(n+1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n边形和一个三角形4. A5. A 因为f(x) = x2 + 2ax + 1不存在不动点，所以f(x) = x无实根.由x2 + 2ax + 1 = x13得x2 + (2a - 1)x + 1 = 0,此方程若无实根，
6、则A= (2a - 1)2 - 40,解得-226. A Vp = a += a - 2 +2三4，a- 2a- 2q = 2 - a2 + 4a - 2 = 2 - (a - 2)2 + 22)，.pq.7. B 前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n组数的和为n3.8. B J a = pc + 1 _ C = ic+1+冷cb = ；c 一叮 c _ 1 = - + 1，又 Jc1,Jc + 1 + -Jc；c + ic _ 10,=-.即 a0,且a2 = 1,即a3 = 1.n 1 1JS =7,.a + a + a =_+1 = 7,3123 q2 q即
7、6q2_ q_ 1 = 0.故 q = 2或 q=_|(舍去),.a1=q2 = 4.4(】_)131S5 = = 8(1 - 25)=才.故选 B.1_210. A 增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数 最多为 f(k)+ k.11. C 因为a B是锐角三角形的两个内角，所以a +小申，所以2a2 _ 00，所以 cosavcos( Tsin B.而 cos a C (0,1), sinB E (0,1), fx)在_ 1,1上是减函数，故f(cos a)f(sinB). 12A 由 cos A+ cos B0 得 cos A_ cos B， cos Aco
8、s(n_B),J0An, 0Bn，且 y = cos x 在 x E (0, n)上单调递减. An_B,.A + Bn，即卩 0A + B兀13. a+b = 22解析 J 7+ 15 = 22,5.5 + 16.5 = 22,3 - 右 + 19 + 3 = 22,.猜测 a + b = 22.一 314. 2Wa2解析当n为偶数时，2_丄,n3.3；2，.a _ 2 -丄, n a 三 _ 2.而2_12_1 n2当 n 为奇数时而 _ 2 _ 丄 _ 2,n3综上可得- 2WaVQ.15.正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析 等腰三角形的底与腰可分别
9、与正棱锥的底面与侧面类比.16. 函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间1,1上恒小于等于 017. 证明 Ja、 b、 c 是不等正数,且 abc= 1,bc+ca+ab111111b c c a a b 2 + 1 + T1 1 1 -+ - + abc故;a + pb + ca +1 + 118 解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交 结论是正确的：证明如下：设a邛，且Ya = a,则必有丫。0 = b，若Y与B不相交，则必有Y H 0，又 a II B，.a II y，与 Ya = a 矛盾，必有 yB = b.(2)类比为：如
10、果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错 误的，这两个平面也可能相交19.证明 方法一(分析法)要证fx)是偶函数，只需证对于任意xER，都有f(x) = f(x)x + x x x由fx】)+fx2)=织飞2)f(飞2)得 f(x)+f(x) = 2f(0)-f(x)， 欲证 f(x)= f(x)， 需先证 f(0)= 1.由fx)不恒为0，即存在一个x0使fx)H0, 从而 f(x0) +fx0) = 2f(x0)-f(0)， 由 2f(x0) = 2f(x0)-f(0).因为fx0)H0,所以f(0) = 1,命题得证 方法二(综合法)设xER, fx)M0, 则
11、f(x0) +f(x0) = 2f(x0)-f(0), 即 2f(x0) = 2f(x0)-f(0).因为fx0)H0,所以f(0) = 1.对于任意 x E R，有 f(x) +f(x) = 2f(0)-f(x), 所以 f(x) +f(-x) = fx),所以 f(-x) =fx) 因此，函数fx)为偶函数.20. 证明因为a, b, c均为正数，由基本不等式得 a2 + b222ab,b2 + c222bc,c2 + a2 三 2ac.所以 a2 + b2 + c2 三ab + bc + ac.11 U 111同理 a2+ b2+ c2 ab+ bc+ ac,故 a2 + b2 + c2 + ( + b + )2333厂三 ab + bc + ac + +厂 + 一 三 6；3.ab bc ac所以原不等式成立当且仅当a = b = c时，式和式等号成立，当且仅当a = b = c, (ab)2 = (bc)2 = (ac)2 = 3 时，式等号成立.故当且仅当a = b = c = 34时，原不等式等号成立.21. (1)证明(ntanx + 4ntan x + tan 4n1 - tan xtan 4_ 1 + tan x1 - tan x(2)解fx)是以4为一个周期的周期函数. 证明如下：fx + 2)F(x+l) + l)fX：1
