《线性代数课后答案习题5和习题6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课后答案习题5和习题6（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 1）；2）；3）；4）。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1），特征值 。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时 ， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。2），特征值 。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。3），特征值 。当时， ，。故属于的特征向量为 （不全为零）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。4） ，特征值 。当时， ，故属于的特征向
2、量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。2. 已知方阵满足，求的所有可能的特征值。解：设是的特征值，则有非零向量满足。于是，。因为非零，所以。即的特征值只能为或 。3. 设是的特征值，证明： 1）是的特征值，（为正整数）是的特征值； 2）设是多项式，则是的特征值； 3）如果可逆，则是的特征值。证明：1）因为，则。，依此类推，即是的特征值。2）由1）（为正整数），记，则，即是的特征值。3）如果可逆，对两边左乘有：。又可逆矩阵的特征值不为零（否则，与可逆矛盾）。故 。4. 设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。证明：由题意
3、，设 ， ，则 线性无关。（反证）若是的特征向量，则有： 。从而。因为，所以不全为零，于是线性相关，矛盾。故不是的特征向量。5. 如果方阵可逆，证明矩阵和相似。证明：因为，所以矩阵和相似。6. 设与相似，与相似。证明与相似。证明：因为与相似，与相似，故有可逆矩阵与， 使得：，。于是，即与相似。7. 计算，其中。解： ，特征值 。当时，对应的特征向量为 ；当时，对应的特征向量为 ；当时，对应的特征向量为。故可取，有，使得： 。从而 。8. 求，的值，使得矩阵与相似，其中，。解：因为的特征值为，由与相似，可得，。即，从而 。9. 证明： 1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值
4、的模等于1。证明：1）设是实反对称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有。考虑 ，一方面；另一方面，；于是。又因为，所以。故，即为0或纯虚数。2）设是正交称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有，再转置。所以。因为，所以。故，即的模为1 。10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 1） ，2） 。解：1）因为，故为正交矩阵；2）不是正交矩阵。11. 设为正交矩阵，证明：1）与为正交矩阵；2）为正交矩阵。证明：1）因为为正交矩阵，所以，即。又，故与为正交矩阵。 2）因为为正交矩阵，所以，。从而，即为正交矩阵。12. 在中，求一单位向量与向量正交。解：设所求向量为，则有。求得基础解系为 。故（为任意数）。
5、13. 求正交矩阵，使得为对角形：1） ； 2）。解：1） ，特征值 。当时， ，。当时， 。由施密特正交化，取，。令，则。2） ，特征值 。当时， ，。当时， 。由施密特正交化，取，。令，则。14. 设3阶方阵的特征值为1，2，3；对应的特征向量为， ，。求矩阵。解：由题意，令，则有。故 。15. 设3阶实对称矩阵的特征值为6和3（二重根）。属于6的特征向量为，求及。解：设是实对称矩阵属于特征值为3的特征向量，则有 。故特征值为3的特征向量， 。令，则 。 。提高题1. 设矩阵，有特征值，属于的一个特征向量为。求和的值。解：因为，所以，即 。由于 ，可得，又，所以 。解得： 。2. 已知3阶
6、矩阵与3维列向量，向量组，线性无关，且满足。1）记，求3阶矩阵，使得；2）计算行列式。解：1）因为，所以，。由，可得 。 2） 。3 设是阶方阵，记，是的个根（重根按重数计算）。证明：1），称为方阵的迹，记为；2）。证明：因为，令，则有，即2）成立。又由于特征多项式中项由行列式定义知只能出现在内，它的系数为；而 中项的系数为。故1）成立。4设，均为非零实数，求可逆矩阵，使得为对角阵。解： ，它为实对称矩阵。当时，的秩为1，所以是的重根，由上题1）的结果知项系数为。故。当时，可得：，。由于属于特征值的特征向量与上述向量组正交，所以（）。故 。令，则。5证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明：设上三角
7、矩阵正交，则。一方面由第二章习题知也为上三角，另一方面为下三角，故既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6是正交矩阵，且。证明不可逆。证明：因为，所以，即。又是正交矩阵，所以 。即，从而，不可逆。习题六1. 写出二次型的矩阵表示形式：1）；2）；3）。解：1） ；2） ；3）。2. 化下列二次型为标准形：1）；2）。解：1）二次型矩阵为 ， 。所以二次型为标准形为 。 2）二次型矩阵为 ， 等于 。所以二次型为标准形为 。3. 判断下列二次型的正定性：1）；2）；3）。解：1）二次型矩阵为 ， 又， ， 。所以二次型正定。2）二次型矩阵为 ， 又， ， 。所以二次型负定。3）取 ，则 ；又取，则
8、 。所以二次型既不正定，也不负定。4. 为何值时，下列二次型是正定的：1）；2）。解：1）二次型对应的矩阵为 。 又， ， 。所以当，即时二次型正定。 2）二次型对应的矩阵为 ， 又， ， 。因为无解，即无论为何值二次型是均不正定。5. 如果二次型，对于任意维列向量，都有。证明。证明：记，取（表示第个分量为1其余分量为0的维列向量），由，得；取（表示第、第两个分量为1其余分量为0的维列向量），由，则有。故 。6. 如果是正定矩阵，证明是正定矩阵。证明：因为是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵，使得 。故 ，即是正定矩阵。7. 如果，是阶正定矩阵，。证明为正定矩阵。证明：，是阶正定矩阵，对任意维实的列
9、向量，。从而 。即为正定矩阵。8. 设是实对称矩阵，证明当实数充分大之后，是正定矩阵。证明：取 ，则当时， 。所以是正定矩阵。提高题1. 如果为正定矩阵，证明：1）；2）。证明：1）（反证）若，取为、其余未知量为零的列向量，则有。与为正定矩阵矛盾。故 。 2）由1）。（反证）若 ，则二元二次型 不正定，故存在 ，使得 。取为、其余未知量为零的列向量，则，且。与为正定矩阵矛盾。所以 。2. 若为阶正定矩阵，。证明：是元负定二次型。证明：因为为正定矩阵，由习题6知也为正定矩阵。故对任意 。即是元负定二次型。3. 设、为实对称矩阵，的特征值小于，的特征值小于，证明特征值小于。证明：因为的特征值小于，所以的特征值全大于零，即为正定矩阵；同理可得为正定矩阵。故对任意实维列向量，有 ， 。于是。即为正定矩阵，亦即特征值小于。4设是元实二次型。若存在实维列向量和，使得，。证明存在维列向量，使得。证明：取，记为的连续函数。又，故有，使得。记，则。下证 。（反证）若 ，则有 ，使得，从而 与同小于零。矛盾。所以 。
