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1、2 . 2 . 1 对 数 与 对 数 运 算 （ 3 ）从容说课本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式， 利用换底公式统一对数底 数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法， 一般利用它将对数转化为常用对数或 自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用 .教材通过实例研究引出换底公式， 既明确学习换底公式的必要性， 同时也在公式推导中应用 对数的概念和对数的运算性质， 在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例， 便于学 生理解换底公式的本
2、质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力 .本课的重点是换底公式的应用及对数的应用问题；难点是换底公式的灵活运用 .利用换底公 式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用， 在解题过程中应注意：（ 1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（ 3）换底公式的正用与逆用.同时要注意解决实际问题的一般步骤：审题设元、建模解模、检验还原 .三维目标一、知识与技能1. 掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单 的化简和证明 .2. 能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.二、过程与
3、方法1. 结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学 思想.2. 通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.3. 通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、 生产中的重要作用 .三、情感态度与价值观1. 通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学 生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神 .2. 在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学 交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质 .教学重点1. 换底公式及其应用 .2
4、. 对数的应用问题 .教学难点换底公式的灵活应用 .教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业 .教学过程一、引入新课师：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形， 若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？（产生认知冲突，激发学生的学习欲望）从对数的定义可以知道，任何不等于 1 的正数都可以作为对数的底 .数学史上，人们经过大 量的努力， 制作了常用对数、 自然对数表， 只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求岀任意不为1的正数为底的对数.二、讲解新课（一）探求换底公式，明确换底公
5、式的意义和作用 师：你能根据对数的定义推导岀下面的换底公式吗？log- N口口-（a 0，且 a 工 1 ； c 0,且 ch 1 ； N 0）.logaN=log - a(师生讨论并完成)当 a0,且 ah 1 时，若 ab=N, 则 logaN=b.在的两边取以 C ( C 0,且CH 1)则 log-ab=log -N,即 blog-a=log-N.log a N为底的对数, b=log - a由得logc N口lOgaN= -( C 0，且一般地,log - alog c N口logaN=-(a 0, 且log - a1 ； c0,且ch 1 ； N0）,这个公式称为换底公式.合作探究
6、1 : lOgab lOgbC=?lOgab logba=?2:证明 logbN= loga N （a0， b0，a 1， b工 1， N0）. log a b方法引导：关于对数换底公式的证明方法有很多，证明的基本思路就是借助指数式 合作探究：换底公式有什么重大作用？（生探究，得出如下结论）结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，件，如换底公式可以解决如下问题：1. （1） logabx log ba=1 ；合作探究为使用运算法则创设条(2) logambn= logab (a、b 0 且均不为 1). m182.例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log 1.0
7、1 的值,13利用换底公式与对数的运算性质，可得l 1818 g 13Ig18lg13x=log 1.01=13lg1.01lg1.01由此可得，如果人口年增长率控制在 年底我国的人口总数可达到18亿.（二）换底公式的应用（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求log 89 x log 332的值.【例 2】计算：（1） log34 log48 log 8m=log 416,求 m 的值. （2） log 89 log2732.咚55匕空=32.8837 330.0043（年）.1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032log 3 2(3)( log 2
8、5+log 4125 )log 十 5（1）解：原方程等价于聖X聖X空=2，lg3 lg 4 lg 8即 log3m=2， m=9.（2）解法一：原式=空 空=空2 lg8 lg 2731g2解法二：原式=竺兰性送=如251g2 _1031g3 = 9 .510log 2 8 log 2 273 log 2 39(3)解：原式=(log 25+log 25 ,5 )log 3 2=Iog225 (52log35251 2.-log52=log25 2 log52=255log 25 Iog52=.44方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数
9、进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以 底数进行换底.知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；10为（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log am皿=卫logaM及换底公式mlogb N log aN=log ba1利用换底公式可以证明：log ab=，即log ablog ba=1.logb a（三）对数的应用问题 合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题【例3】M，其计算公式为 M=lgA lgAo，其中，A是被测地震的最大振幅， 震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）（1） 假设在一次地震中，
10、一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到 0.1）;（2） 5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是 5级地震的最大振幅的 多少倍（精确到1）.解：（1） M=lg20 lg0.001A0是标准地204 a o=lg=lg20000=lg2+lg10 4.3.0.001因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.(2)由 M=lgA lgA。可得A A mM=lg=10A=A0A0A0当M=7.6时，地震的最大振幅为 当M=5时，地震的最大振幅为 所以，两次地震的最大振幅之比是A=Ao 107.6；A2=
11、Ao 10I= A0 10=10L65=1026- 398.A2 A 105答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差 2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的 398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于 5级地震的破坏性.【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原
12、有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730 年.湖南长沙马王堆汉墓女尸岀土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.解：我们先推算生物死亡 t年后每克组织中的碳 14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中 的碳14的含量为1，1年后的残留量为 X,由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数 t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数t123t碳14含量PXx23 xt x因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=x由于大约每过5730年，死亡生物体的碳 14含量衰减为原来的一半,1 5730所以一=x ，2于是 x= 57
13、30 1 =(丄)57302 ( 2这样生物死亡t年后体内碳14的含量P= ( 1 )嘉2由对数与指数的关系，指数式P=(-)2t5730可写成对数式t=log 刁 P.5730 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即 P=0.767，那么t=log 0.767，5730*由计算器可得t- 2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.（四）目标检测1課本P79练习第4题.答案：（1）51；( 2) 1;( 3)4器，|ogn倍，logbnan，n N）中和log ab相等的有2.在logb a1 - log ab a辿(a 0，1 一 log ab ba工 1， b0，1，ab工 1，A.2个 答案：AB.3个C.4个D.1个3. 若 log34 log48 log8m=log42，求 m.答案：3.4. (1)已知 log53=a, log54= b,试用 a、b 表示 log25l2；答案:(2)答案:a b2 .已知 logi227=a，求 log6l6.4(3 -a)3 a三、课堂小结1. 换底公式及其应用条件(注意字母的范围)2. 解决实际问题的一般步骤：四、布置作业(一) 课本P86习题2.2A组第6、9、11、12题.
